Fonction-bornes en fonction de la variabilité de paramètres

[floop]

Bonjour,

Une question me turlupine depuis quelques jours et je ne parviens pas à trouver de début de solution ou ne serait-ce des termes qui pourrait aiguiller mes recherches. Je viens donc vers vous trouver de l'aide. N'hésitez pas à me corriger, en particulier si j'utilise à tord certains termes.

Mon problème est le suivant : je possède une certaine fonction qui contient plusieurs paramètres, ces paramètres correspondent à plus ou moins une valeur (i.e. chaque paramètre est contenu dans un intervalle). A partir de là, je peux tracer graphiquement ma formule et je souhaiterai, en plus, tracer des sortes de "bornes minimales/maximales" en fonction de la variabilité des différents paramètres.

La question est donc : est-il possible et existe-t-il une méthode/méthodologie permettant de définir ces "fonction-bornes" ?


Exemples :

Un premier exemple, simple, pourrait être la fonction où .
Assez naturellement, on trouve que la borne inférieure correspondrait à et la borne supérieure à .

Un second exemple, plus compliqué, pourrait être la fonction où .
En faisant bêtement un seul exemple, on serait tenté de dire quelque chose comme :

et

or, en faisant quelques tests empiriques, en particulier en faisant varier autour de 0, on se rend rapidement compte que le problème n'est pas aussi simple que de prendre notre fonction et les bornes de notre paramètre .
Toujours de façon empirique, on remarque dans ce cas présent, avec et , que les fonctions-bornes seraient quelque chose comme :

et



En pratique, si c'est réalisable, j'aimerai pouvoir le faire sur une fonction à 4 paramètres et contenant des logarithmes et exponentiels.

Merci pour vos réponses

[lyceen95]

Si je parle de dérivées partielles, est-ce que ça te parle ?
A un moment ou un autre, il va falloir aborder ces dérivées partielles dans ton problème. Vu ce que tu dis, tes fonctions ont l'air d'être dérivables, on est dans une situation favorable.

Tu as une fonction f(x) qui dépend de 4 paramètres a,b,c,d ; a prend des valeurs entre a1 et a2, b est entre b1 et b2 , etc.
Déjà, tu peux (ou tu dois) regarder les cas limites, les valeurs extrêmes a1, ... d2.
Tu as donc 2^4=16 cas qui sont relativement favoris pour être les valeurs mini ou maxi.
Et en plus, il peut arriver que les valeurs extrêmes soient atteintes pour certaines valeurs de a,b,c,d, autres que ces a1, a2, b1, b2... etc
Mais dans ce cas, comme tu travailles avec des fonctions dérivables, les valeurs extrêmes ne peuvent être atteintes qu'en des points où les dérivées partielles sont nulles. Et donc on sait plus ou moins trouver ces points.
Ici, 4 paramètres, des fonctions qui combinent des log et des exponentielles, ça risque d'être compliqué. Sauf si il y a certains paramètres qui peuvent rapidement être traités, parce que de façon évidente on saurait trouver quelle valeur de a par exemple donne le min et le max.

Mot clé : dérivée partielle.
Et pour avancer concrètement, si tu partages ta fonction, ce sera plus efficace que parler de façon générale.

[Ben314]

Salut,
J'ai de gros doutes concernant le laïus de Lycéen.
Certes, si une fonction C^1 est définie sur un rectangle fermé (et à valeur réelle) alors ses max/min sont :
- Soit strictement à l'intérieur du rectangle et on peut les repérer en cherchant les points critiques (i.e. les points où les dérivées partielles sont toutes nulles).
- Soit au bord du domaine et là, les dérivées partielles n'ont aucune raison d'être nulle en ces points.

Et là où j'ai de gros doute, c'est sur le fait que le bord du domaine (dans le cas du rectangle) soit constitué d'uniquement les 4 sommets du rectangle . . .

[lyceen95]

Si c'est ce qui ressort de mon laïus, alors je me suis mal exprimé.

[floop]

Merci pour vos réponses.

Les dérivées partielles me parlent un peu, mais je ne crois pas en avoir fait durant mes études. Ceci dit, sauf erreur de ma part, c'est exactement le même procédé qu'avec une dérivée classique.

J'ai commencé à bricoler des choses en utilisant la seconde formule d'exemple :
Pour cette fonction, j'ai calculé la dérivée en qui me donne .
A partir de ça, j'ai fait une sorte de tableau de variation :


Duquel on semblerait en déduire que :
Sur , on atteint le maximum avec , qui sera donc la valeur de utilisée pour la borne supérieure si , sinon on cherche (où on teste ici juste les valeurs limites de (?)). Pour la borne inférieure, on cherche .
Sur , tout est à 0.
Sur , idem que x <0 mais dans le sens inverse.

En prenant comme exemple , on peut en déduire :


Nous donnant les fonctions :

et


Est-ce la bonne démarche ?


J'ai voulu commencer à regarder en ajoutant un second paramètre, en utilisant comme fonction , et ça semble déjà bien laborieux ...

Ma fonction concrète est :
où

[lyceen95]

Waow,
La fonction est compliquée.
MAIS, il y a plein de petites propriétés bien sympa qui vont simplifier le travail.
Déjà les variables a et b. Elles interviennent uniquement sous la forme a/b et même ln(a/b)
Il faut remplacer ln(a/b) par une autre variable, disons y, et on va chercher comment f se comporte selon les variations de y (avec y>=1 par hypothèse)

Ensuite, les variables c et d.
Certes, la fonction est compliquée, mais c et d apparaissent à un seul endroit.

Je vais introduire une autre fonction g :
En fait, selon le signe de d-x, on a 2 cas de figure. Si d-x >0, g est une fonction croissante en fonction de c ( quand c augmente, g augmente aussi, et donc f diminue . Et si d-x <0, c'est l'inverse.
Inutile de calculer la dérivée à proprement parler, il suffit de savoir si la fonction est croissante ou décroissante.

Le signe de d-x est essentiel dans la suite des calculs.

[floop]

Encore merci pour ces réponses.

Etant donné que je ne m'y connais pas trop sur ce sujet (dérivées partielles, points critiques, etc.), je patauge un peu et commets sans doute des erreurs. Voici mes avancées potentiellements erronées :

A) Premièrement, je ne sais pas si c'est volontaire de ta part, mais en fixant avec , on peut indiquer que et non pas ?

B) Avec la fonction , on a la dérivée en correspondant à . Etant donné que , on peut dire que lorsque augmente, augmente aussi.

C) La variable/fonction est définie en fonction de et qui font parti des paramètres pouvant varier dans un intervalle donné. Les deux dérivées sont et , à partir desquelles je dresse les tableaux de variation suivants :





On peut en déduire que est obtenu avec et que est obtenu avec .

D) Concernant , on a . On sait que donc donc lorsque augmente, diminue.

E) J'analyse ensuite la fonction elle-même. Comme tu l'évoque, et de ce que j'ai lu ailleurs grâce à tes pistes, la fonction , qui est dérivable, possède ses maxima/minima aux points critiques (toutes les dérivées partielles nulles) ou sur "les bords du rectangle" (enfin, sa version en 3-4 dimensions dans notre cas).
On calcule alors ses dérivées partielles qui sont , , et .
On cherche ensuite les points critiques en résolvant le système :
Ce qui nous donne , et .
Or, dans notre cas, on sait que , donc cette solution n'est pas viable et il n'existe pas de point critique dans notre application (?)

F) Pour maximiser , on va chercher à maximiser et à minimiser .
Pour minimiser , on va chercher à minimiser et à maximiser .

G) On analyse plus précisément les dérivées partielles :

G.a) , croît lorsque croît si

Ce qui induit :
- Sur , et
- Sur , et

G.b) , condition toujours vraie dans notre application donc croît lorsque croît

Ce qui induit :
- Sur , et
- Sur , et

G.c) , croît lorsque croît si

Ce qui induit :
- Sur , (1) et (2)
- Sur , (3) et (4)

> Or, intervient aussi plus "globalement" sur . Avec B) et C), on indiquait qu'on maximisait avec et qu'on le minimisait avec . Les formules (1) et (2) restent donc toujours valides. En revanche, les formules (3) et (4) deviennent contradictoire sur le choix de et .

H) C'est là que je me triture davantage la tête depuis quelques jours ... (bien que ce que je vous ai présenté plus haut est peut être faux ^^")
Comment choisir nos paramètres et pour nos fonctions et ?

Ce que je me suis dit, c'est qu'il faut savoir quand est-ce qu'une évolution de est plus "dominant" que sur .
J'ignore si ça se fait réellement, mais j'ai posé qui est toujours vrai. Cela voudrait donc dire qu'il faut favoriser les paramètres et qui favorisent ?

Dans ce cas, on aurait :
- Sur , et
- Sur , et

Autrement dit :

et



Pourriez-vous m'indiquer le(s) point(s) qui serai(en)t erroné(s) ? En particulier, est-ce que le dernier point (H) se tient ?

[lyceen95]

Effectivement, ln(a/b) varie entre 0 et +infini, et pas entre 1 et +infini.

J'ai un premier gros problème, c'est avec tes tableaux de variations.
Voici l'image d'un tableau de variation :
Quand il y a 2 valeurs 'intermédiaires' sur la ligne du haut (les valeurs 2 et 4 dans l'image), il y a 3 flèches montantes ou descendantes dans le corps du tableau, et pas une seule comme dans ton tableau.

Pourquoi je tiens à remplacer a et b par a/b ... parce que si on a un certain résultat pour le couple (a,b), on aura la même résultat pour (100a,100b).

Chaque variable apparaît une seule fois dans la formule, c'est ça qui fait que ça se passe assez bien.
Sauf la variable ln(a/b). (je considère que c'est une seule variable). Par exemple, si on fixe toutes les variables, sauf c, que se passe-t-il quand on fait varier c ? Et comme c apparaît une seule fois dans la formule, sans le moindre calcul, on trouve assez vite un résultat.

Je répète, c'est le signe de d-x qui est essentiel.
Si (d-x)<0, quand ln(a/b) augmente, ce que je notais g(x,a,b,c,d) diminue et augmente , on le multiplie par ln(a/b) qui augmente aussi, donc si (d-x)<0, quand a/b augmente, f(x) augmente.
Par contre, si (d-x)> 0, quand ln(a/b) augmente, g(x,a,b,c,d) augmente, diminue, et on le multiplie par ln(a/b), qui augmente. On ne sait pas dire de façons simple si f(x) augmente ou diminue.

C'est uniquement ce cas (quand d-x>0, et quand on fait varier ln(a/b)) qui est difficile. Et il est très difficile.

Petit détail : on traite des nombres qui sont positifs, c'est pour ça que c'est '''aussi simple'''.

[floop]

Je comprends, les valeurs , , et ne sont pas des valeurs pour lesquelles change de variation. Je les y avais placé pour avoir une "représentation plus visuelle" pour dire, par exemple, "si je prends , alors ce sera la valeur de qui maximisera mon ".

Pour le remplacement de et par , d'accord, mais je ne vois pas trop l'intérêt dans mon application ? Par exemple, avec et , on a en effet mais il y a tout plein de cas qui ne concordent pas avec ça, comme , , etc. Souhaites-tu me mener quelque part où je ne vois pas ?

Globalement, j'ai l'impression qu'on se dit la même chose, non ?
Tout le point G de mon précédent message, qui évoque les dérivées partielles de , montre que pour plusieurs paramètres, "c'est le signe de d-x qui est essentiel" comme tu me l'indiques dans tes 2 précédents messages. Ou bien y-a-t-il quelque chose que je ne vois pas dans ta remarque ?

Enfin, concernant le cas de sur , lorsque tu dis que c'est un "cas [...] difficile. Et il est très difficile", cela sous-entend qu'il n'est pas impossible à traiter ? Mais peut-être es-tu entrain de me dire d'oublier un peu cette partie ? ^^