Limites de ... ?!

[Lostounet]

Salut !

En regardant le forum lycée, une question m'est passée par la tête:
Peut-on factoriser n'importe quel polynome ? Avec tous les outils mathématiques (complexes, machin-choses..), même en supérieur, et au-delà ?

Ou bien, y'a-t-il des limites, et l'on ne peut que résoudre des polynomes particuliers, fabriqués, voire partiellement fabriqués maximum ?
et tel sera notre destin pour la fin de notre existence?

Qu'en pensez-vous ?

[Zweig]

Salut,

Factoriser un polynôme passe par la recherche de ses racines, c'est-à-dire résoudre l'équation (dans R ou dans C) P(x) = 0

Il se trouve que pour des polynôme de degré 2 (méthode du discriminant), 3 (méthode de Cardan) et 4 (méthode de Ferrari), on a des méthodes qui permettent d'expliciter les valeurs exactes des racines. Il se trouve que pour des équations polynôminales de degrés supérieures à 5, il n'existe (et cela été prouvé indépendamment par Galois et Abel) aucune formule permettant d'exprimer les solutions exactes par radicaux, c'est-à-dire, à l'aide des opérations usuelles : +, -, *, racines. Par contre, il est possible de les exprimer à l'aide des fonctions elliptiques ...

Néanmoins, il existe des méthodes permettant d'approximer, +- rapidement et avec précision, les solutions de n'importe quelle équation polynôminale (méthode de Newton etc ...)

[Lostounet]

Salut,

Factoriser un polynôme passe par la recherche de ses racines, c'est-à-dire résoudre l'équation (dans R ou dans C) P(x) = 0

Il se trouve que pour des polynôme de degré 2 (méthode du discriminant), 3 (méthode de Cardan) et 4 (méthode de Ferrari), on a des méthodes qui permettent d'expliciter les valeurs exactes des racines. Il se trouve que pour des équations polynôminales de degrés supérieures à 5, il n'existe (et cela été prouvé indépendamment par Galois et Abel) aucune formule permettant d'exprimer les solutions exactes par radicaux, c'est-à-dire, à l'aide des opérations usuelles : +, -, *, racines. Par contre, il est possible de les exprimer à l'aide des fonctions elliptiques ...

Néanmoins, il existe des méthodes permettant d'approximer, +- rapidement et avec précision, les solutions de n'importe quelle équation polynôminale (méthode de Newton etc ...)

Une équation du 1000ème degré peut donc avoir une solution elle aussi par les 'fonctions elliptiques' ?

Quand append-on ces méthodes ?

[Skullkid]

Salut, sur , tout polynôme admet une racine (donc toute équation polynomiale a une solution). Plus encore, tout polynôme admet autant de racines que son degré, si on compte les racines avec leur ordre (c'est-à-dire, par exemple, que comme 0 est racine double de X², il compte pour deux racines). Donc on peut scinder n'importe quel polynôme complexe, c'est-à-dire le factoriser sous forme d'un produit de polynômes de degré 1.

Sur , la situation est moins sympathique, car certains polynômes non constants (certains trinômes du second degré) n'ont pas de racine. Donc on ne peut pas toujours scinder les polynômes, mais on peut les écrire comme un produit de polynômes de degré au plus 2.

Sur d'autres ensembles, comme ou , les choses peuvent devenir beaucoup plus compliquées. Et la recherche des racines ne suffit plus pour la factorisation.

[Anonyme]

Il se trouve que pour des équations polynôminales de degrés supérieures à 5, il n'existe (et cela été prouvé indépendamment par Galois et Abel) aucune formule permettant d'exprimer les solutions exactes par radicaux, c'est-à-dire, à l'aide des opérations usuelles : +, -, *, racines.

Comment démontrer qu'une formule n'existe pas ?
Est ce que quelqu'un peut m'indiquer les grandes lignes pour démontrer qu'une formule n'existe pas ?

[Zweig]

Salut,

Voici une des démonstrations possibles : http://www.ann.jussieu.fr/~gabriel/documents/Memoire.pdf

[Nightmare]

Comment démontrer qu'une formule n'existe pas ?
Est ce que quelqu'un peut m'indiquer les grandes lignes pour démontrer qu'une formule n'existe pas ?

Cela demande des connaissances d'algèbre très solides mais si tu es vraiment curieux tu peux taper "théorème d'Abel" sous google.

[ffpower]

Grossierement, partant d'un polynome P, on considere qu'on a une formule si on une fonction des coefficients de P qui utilise des additions et soustractions, multiplications et divisions, et des racines p-iemes.
Donc partant d'un polynome, on regarde l'ensemble de tous les nombres qu'on peut obtenir a partir des coefficients de P en utilisant ces opérations..On étudie différentes propriétés de cet ensemble en utilisant de l algebre assez avancée, et on montre que "en général", si deg P>4, les racines de P ne sont pas dans cet ensemble..

[Sylviel]

Lostounet : non on n'as pas de "formules" pour les résolutions de tous les polynomes. En fait ce qu'il faut voir c'est que les fonctions elliptiques sont des fonctions qu'on ne "comprends pas". C'est un peu comme si tu disais : je sais résoudre parce que je prends la fonction qui à un polynomes associe ses racines. En fait je suis très grossier : les fonctions elliptiques sont bien étudiées et on connait une valeur approchée très précise en plein de points (comme pour cosinus si tu te souviens d'une autre discussion). Mais cela va aussi vite de chercher une valeur approchée de ta racine plutot que d'utiliser ces fonctions...

Par ailleurs tu remarqueras que tu ne peux pas factoriser un polynome en plus de facteurs que son degré... En fait si P(x)=(x-a)Q(x) où P et Q sont des polynomes, cela signifie exactement que a est une racine de P. Et réciproquement (dans C).