Règles de calcul avec des limites

[druide24]

Bonjour,

J'ai "trouvé" ce matin la formule suivante :
ln(x) = lim ( x^epsilon / epsilon ), quand epsilon tend vers 0

J'ai pensé à cette formule en partant de la règle d'intégration des puissances :
int(x^n) = x^(n+1)/(n+1)

Et donc :
ln(x) = int(x^(-1+epsilon)) = x^epsilon / epsilon

J'avais quelques questions :
1- Cette formule (avec la limite) est-elle correcte ?
2- Puis-je utiliser la notation "epsilon" en économisant la notation "lim" que je trouve un peu lourde et inélégante
3- Quelles sont les règles à respecter pour éviter les erreurs (simplifications)
4- En résumé s'il y en a une, quelle serait l'arithmétique de "epsilon" ?

Après quelques tentatives, j'arrive à retrouver tant bien que mal la formule d'intégration de ln(x) :
int(ln(x)) = int(x^epsilon/epsilon) = x^(epsilon+1)/(epsilon+1)/epsilon

Je multiplie par (1-epsilon) au numérateur et au dénominateur :
int(ln(x)) = (1-epsilon)*x^(epsilon+1)/(epsilon^2+1)/epsilon

Je suppose que epsilon^2 = 0 (est-ce correct ?) :
int(ln(x)) = (1-epsilon)*x^(epsilon+1)/epsilon
int(ln(x)) = (1-epsilon)*x*x^epsilon/epsilon
int(ln(x)) = (1-epsilon)*x*ln(x)
int(ln(x)) = x*ln(x)-epsilon*x*ln(x)
int(ln(x)) = x*ln(x)-x^(1+epsilon)

Enfin, je suppose que x^(1+epsilon) = x (est-ce correct ?) :
int(ln(x)) = x*ln(x) - x

J'ai essayé de faire un calcul semblable pour démontrer des propriétés des log, mais sans succès :
ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
ln(a*b) = (a*b)^epsilon/epsilon = (a^epsilon*b^epsilon)/epsilon
ln(a)+ln(b) = a^epsilon/epsilon+b^epsilon/epsilon = (a^epsilon+b^epsilon)/epsilon

Là j'arrive à une incohérence :
a^epsilon*b^epsilon = a^epsilon+b^epsilon
Or quand epsilon tend vers zéro, le terme de gauche tend vers 1 et le terme de droite vers 2, je suppose que j'ai donc dû enfreindre une règle de calcul avec les limites mais laquelle ?

Merci de votre aide.

EDIT : J'ai trouvé ici une formule différente : ln(x) = (x^epsilon-1)/epsilon, je referai les calculs pour voir si cela correspond mieux...

[Mathusalem]

Bonjour,

J'ai "trouvé" ce matin la formule suivante :
ln(x) = lim ( x^epsilon / epsilon ), quand epsilon tend vers 0


J'avais quelques questions :
1- Cette formule (avec la limite) est-elle correcte ?


EDIT : J'ai trouvé ici une formule différente : ln(x) = (x^epsilon-1)/epsilon, je referai les calculs pour voir si cela correspond mieux...

J'ai pas lu ton raisonnement donc d'autres pourront te dire où tu t'es fourvoyé. Néanmoins, je te fais remarquer la chose suivante : la limite que tu as écrite plus haut tend toujours vers l'infini pour tout x (enfin y a toujours le 0^0 qui est délicat mais on s'en occupe pas là). En effet, x^0 va tendre vers 1, alors que le dénominateur tend vers 0. Tu exploses à l'infini à chaque fois.

Pour la deuxième forme trouvée, tu as maintenant une forme indéterminée, puisque tu n'as plus 1 au numérateur mais 0, donc tu as une forme en 0/0 à la limite. En appliquant Bernoulli l'hospital, tu conclus immédiatement, en te rappelant que

[druide24]

Bonjour et merci Mathusalem,

Après avoir lu ta réponse (pourtant limpide) 10 fois j'ai enfin compris :)

Donc la réponse à la question 1 est OUI pour la deuxième forme :
ln(x) = (x^epsilon-1)/epsilon

Je repose mes autres questions :
2- Peut-on utiliser epsilon comme une quantité "normale" dans les calculs ? Y a t'il des règles à respecter et lesquelles ?
3- Peut-on dire que epsilon = dx ? (Le dx du calcul différentiel)
4- Peut-on montrer en utilisant cette formule les propriétés des log, par exemple que ln(ab) = ln(a)+ln(b) ?

Merci encore pour vos lumières :)

[Mathusalem]

Quand tu as une forme indéterminée, comme c'est le cas ici


Tu ne connais pas à priori le résultat. Les deux expressions tendent vers 0. Ça peut à priori être n'importe quoi. Pour en avoir le coeur net, on applique la règle de Bernoulli-L'Hospital (B-H), qui te dit quand tu as ce genre de forme indéterminée, cette limite que tu cherches est identique si tu considères la dérivée du dénominateur et du numérateur :



J'ai dérivé en haut, et en bas, selon epsilon car c'est ta variable ici.

Donc, on voit sans peine qu'en fait, la limite considérée tend vers ln(z)

[druide24]

Merci encore Mathusalem c'est beaucoup plus clair :)