Bonjour,
J'ai "trouvé" ce matin la formule suivante :
ln(x) = lim ( x^epsilon / epsilon ), quand epsilon tend vers 0
J'ai pensé à cette formule en partant de la règle d'intégration des puissances :
int(x^n) = x^(n+1)/(n+1)
Et donc :
ln(x) = int(x^(-1+epsilon)) = x^epsilon / epsilon
J'avais quelques questions :
1- Cette formule (avec la limite) est-elle correcte ?
2- Puis-je utiliser la notation "epsilon" en économisant la notation "lim" que je trouve un peu lourde et inélégante
3- Quelles sont les règles à respecter pour éviter les erreurs (simplifications)
4- En résumé s'il y en a une, quelle serait l'arithmétique de "epsilon" ?
Après quelques tentatives, j'arrive à retrouver tant bien que mal la formule d'intégration de ln(x) :
int(ln(x)) = int(x^epsilon/epsilon) = x^(epsilon+1)/(epsilon+1)/epsilon
Je multiplie par (1-epsilon) au numérateur et au dénominateur :
int(ln(x)) = (1-epsilon)*x^(epsilon+1)/(epsilon^2+1)/epsilon
Je suppose que epsilon^2 = 0 (est-ce correct ?) :
int(ln(x)) = (1-epsilon)*x^(epsilon+1)/epsilon
int(ln(x)) = (1-epsilon)*x*x^epsilon/epsilon
int(ln(x)) = (1-epsilon)*x*ln(x)
int(ln(x)) = x*ln(x)-epsilon*x*ln(x)
int(ln(x)) = x*ln(x)-x^(1+epsilon)
Enfin, je suppose que x^(1+epsilon) = x (est-ce correct ?) :
int(ln(x)) = x*ln(x) - x
J'ai essayé de faire un calcul semblable pour démontrer des propriétés des log, mais sans succès :
ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
ln(a*b) = (a*b)^epsilon/epsilon = (a^epsilon*b^epsilon)/epsilon
ln(a)+ln(b) = a^epsilon/epsilon+b^epsilon/epsilon = (a^epsilon+b^epsilon)/epsilon
Là j'arrive à une incohérence :
a^epsilon*b^epsilon = a^epsilon+b^epsilon
Or quand epsilon tend vers zéro, le terme de gauche tend vers 1 et le terme de droite vers 2, je suppose que j'ai donc dû enfreindre une règle de calcul avec les limites mais laquelle ?
Merci de votre aide.
EDIT : J'ai trouvé ici une formule différente : ln(x) = (x^epsilon-1)/epsilon, je referai les calculs pour voir si cela correspond mieux...