Les méthodes pour arrondir un nombre

[Kekia]

Je ne m’inquiète pas spécialement pour GaBuZoMeu ou Lyceen95, à mon avis ils savent parfaitement évaluer la situation.
Je m’inquiète bien plus pour les lecteurs que je ne connais pas et c'est pour ça que je mets en évidence que ton truc à toi c'est de mépriser les individus reconnus par la communauté mathématique (Cantor quand même) alors que tu es totalement incompétent.
Je n'ai d'admiration inconditionnelle pour personne mais j'ai un mépris inconditionnel pour toi donc tu as à moitié raison, tout le plaisir est pour moi, ne t'en fais pas.
Allez c'est parti pour troller jusqu'à fermeture du fil, quand tu veux....

[Kekia]

Je ne m’inquiète pas spécialement pour GaBuZoMeu ou Lyceen95, à mon avis ils savent parfaitement évaluer la situation.
Je m’inquiète bien plus pour les lecteurs que je ne connais pas et c'est pour ça que je mets en évidence que ton truc à toi c'est de mépriser les individus reconnus par la communauté mathématique (Cantor quand même) alors que tu es totalement incompétent.
Je n'ai d'admiration inconditionnelle pour personne mais j'ai un mépris inconditionnel pour toi donc tu as à moitié raison, tout le plaisir est pour moi, ne t'en fais pas.
Allez c'est parti pour troller jusqu'à fermeture du fil, quand tu veux....

[Kekia]

Je ne m’inquiète pas spécialement pour GaBuZoMeu ou Lyceen95, à mon avis ils savent parfaitement évaluer la situation.
Je m’inquiète bien plus pour les lecteurs que je ne connais pas et c'est pour ça que je mets en évidence que ton truc à toi c'est de mépriser les individus reconnus par la communauté mathématique (Cantor quand même) alors que tu es totalement incompétent.
Je n'ai d'admiration inconditionnelle pour personne mais j'ai un mépris inconditionnel pour toi donc tu as à moitié raison, tout le plaisir est pour moi, ne t'en fais pas.
Allez c'est parti pour troller jusqu'à fermeture du fil, quand tu veux....

[Kekia]

Je ne m’inquiète pas spécialement pour GaBuZoMeu ou Lyceen95, à mon avis ils savent parfaitement évaluer la situation.
Je m’inquiète bien plus pour les lecteurs que je ne connais pas et c'est pour ça que je mets en évidence que ton truc à toi c'est de mépriser les individus reconnus par la communauté mathématique (Cantor quand même) alors que tu es totalement incompétent.
Je n'ai d'admiration inconditionnelle pour personne mais j'ai un mépris inconditionnel pour toi donc tu as à moitié raison, tout le plaisir est pour moi, ne t'en fais pas.
Allez c'est parti pour troller jusqu'à fermeture du fil, quand tu veux....

[lyceen95]

Je pense que si Kekia n'a pas cherché à t'éclairer sur tel ou tel point, c'est parce qu'elle sait qu'elle n'a pas les diplômes requis.
Ni elle ni moi, ni Gabozumeu ne sommes psychiatres. Nous ne pouvons donc rien pour toi.

En plus, la déontologie interdit toute consultation en ligne.

[Kekia]

Tu n'imagines pas à quel point tu as raison Spalding, ce compte est un compte poubelle pour moi, cela m'est totalement égal qu'il soit supprimé par la modération, cela ne changera rien à mon objectif, tes conneries c'est fini, tu vas les dire ailleurs sinon je spam.
Tu peux contacter Digischool, ils savent ce que je fais sur ce forum et ils ont mon vrai nom si tu veux porter plainte IRL. Je les ai informé des problèmes en temps voulu à l'époque, à toi de voir.

[Kekia]

Tu n’arrêtes pas de critiquer les intervenants qui ont fait leurs preuves et tu prétends avoir fait une étude meilleure que wikipedia alors que je sais qu'elle ne vaut rien.
Je pense que ce sera suffisant pour gagner le cas échéant si on passe IRL avec Digischool mais je pense surtout qu'ils ne feront rien et qu'ils me laisseront spammer comme avec certains intervenants précédents.
Je te le répète une dernière fois gentiment, va sur ce forum https://dlz9.forumactif.com/ ce sera mieux pour tout le monde.
Pour le resto ou le café, tu n'es pas mon genre, désolé.
Je remets moi l'étude de wikipedia bien plus pertinente que celle de Spalding

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.

[Kekia]

Bonjour,
Par le passé, j'ai contacté personnellement Digischool pour signaler le problème posé par certains propos.
Ils m'ont répondu être conscient de l'attaque de ce site par des propos inappropriés et du spam mais ne souhaitant pas faire de maintenance, ils m'ont invité à aller sur leurs autres services https://www.ilemaths.net/ ou https://super-forum.digischool.fr/

Je retransmets donc ce conseil pertinent à tous les intervenants et élèves via ce compte poubelle qui me servira à faire du spam en recopiant ce message.
Entre deux maux, il faut choisir le moindre, il va sans dire que j'assumerai la responsabilité de ce choix sans aucun souci, Digischool ayant mes coordonnées.

Spalding passant son temps à critiquer des intervenants et à faire la promotion d'une étude sans intérêt, sans tenir compte des retours, sans envie de s'améliorer à cause de ses prétentions excessives à modifier wikipedia, il me semble toxique pour l'objectif pédagogique de ce site.
Je vous remets donc l'article wikipedia sur le sujet :

Un arrondi d'un nombre est une valeur approchée de ce nombre avec un développement décimal plus court. Le résultat est moins précis, mais plus facile à employer. Il y a plusieurs façons d'arrondir, en l'assimilant à nombre plus simple mais du même ordre de grandeur, en le réduisant à l'entier le plus proche, ou en ne gardant qu'un certain nombre de chiffres après la virgule, l'arrondi pouvant alors se faire par excès ou par défaut

Par exemple, l'arrondi entier de 7,3 est 7.
Sommaire

1 Définition formelle
1.1 Arrondi entier
1.2 Arrondi à 10-n près
2 Calcul pratique
2.1 Exemple 1
2.2 Exemple 2
2.3 Exemple 3
3 Lien avec la partie entière
4 Généralisation aux nombres complexes
5 Variantes
5.1 Arrondi au pair le plus proche
5.2 Arrondi stochastique
6 Autres méthodes
7 Zéro négatif
8 Articles connexes
9 Notes et références

Définition formelle
Arrondi entier

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté, l'arrondi entier d'un nombre réel a, noté arrondi(a), est l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

l'arrondi entier de 8,37 est 8,
l'arrondi entier de 14,72 est 15,
l'arrondi entier de -17,62 est -18.

Lorsqu'il y a plusieurs candidats, comme pour le nombre 4,5 qui est aussi proche de 4 que de 5, on choisit par convention le plus grand en valeur absolue. Par exemple :

l'arrondi entier de 4,5 est 5,
l'arrondi entier de 18,5 est 19,
l'arrondi entier de -2,5 est -3,
l'arrondi entier de -11,5 est -12.

Arrondi à 10-n près

L'arrondi à 10-n près d'un nombre réel a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

Par exemple, l'arrondi à 10-2 près de 4,5794 est arrondi(4,5794×100)/100=arrondi(457,94)/100=458/100=4,58.
Calcul pratique

Arrondir un nombre réel à 10-n près revient à appliquer l'algorithme suivant :

tronquer le nombre en ne conservant que les n premiers chiffres après la virgule,
augmenter le dernier chiffre d'une unité si le suivant était supérieur ou égal à 5.

Exemple 1

Pour arrondir le nombre 18,6837 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : 18,68,
on ne fait rien de plus car le chiffre suivant était 3 (qui est strictement inférieur à 5).

L'arrondi de 18,6837 à 10-2 près est donc 18,68.
Exemple 2

Pour arrondir le nombre 3,48 à 10-1 près :

on tronque le nombre en ne gardant que le premier chiffre après la virgule : 3,4,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 8 (qui est supérieur ou égal à 5) : 3,5.

L'arrondi de 3,48 à 10-1 près est donc 3,5.
Exemple 3

Pour arrondir le nombre -14,375 à 10-2 près :

on tronque le nombre en ne gardant que les deux premiers chiffres après la virgule : -14,37,
on augment le dernier chiffre d'une unité car le suivant était 5 (qui est supérieur ou égal à 5) : -14,38.

L'arrondi de -14,375 à 10-2 près est donc -14,38.
Lien avec la partie entière

Les notions d'arrondi entier et de partie entière sont liées via la relation suivante, valable pour tout nombre réel a {\displaystyle a} a :

arrondi ( a ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a | + 0 , 5 ⌋ {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor } {\displaystyle {\text{arrondi}}(a)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\right\vert +0,5\right\rfloor }

Cette relation se généralise immédiatement aux arrondis à 10-n près :

arrondi ( a ; n ) = sgn ⁡ ( a ) ⌊ | a × 10 n | + 0 , 5 ⌋ / 10 n {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}} {\displaystyle {\text{arrondi}}(a;n)=\operatorname {sgn}(a)\left\lfloor \left\vert a\times 10^{n}\right\vert +0,5\right\rfloor /10^{n}}
Généralisation aux nombres complexes

La notion d'arrondi se généralise naturellement aux nombres complexes : l'arrondi entier d'un nombre complexe a, notée arrondi(a), est l'entier de Gauss le plus proche ; lorsqu'il y a plusieurs candidats, on choisit par convention le plus grand en module ; l'arrondi à 10-n près d'un nombre complexe a est le nombre arrondi(a;n)=arrondi(a×10n)/10n.

L'arrondi commute avec le module, mais aussi avec la partie réelle et la partie imaginaire. On en déduit que l'on a toujours arrondi(a+ib;n)=arrondi(a;n)+i arrondi(b;n), ce qui permet d'arrondir simplement les nombres complexes. Par exemple :

l'arrondi entier de 2,3+4,5i est 2+5i,
l'arrondi à 10-2 près de -2,4837+6,2894i est -2,48+6,29i.

Cette généralisation de la notion d'arrondi est notamment mise en œuvre dans les calculatrices TI et dans les logiciels GNU Octave et Sagemath.
Variantes

La notion d'arrondi présentée dans cet article (prendre l'entier le plus proche, et s'il y a plusieurs candidats prendre le plus grand en valeur absolue) est la plus courante dans les logiciels grand public. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les calculatrices Texas Instruments et Casio,
les logiciels Microsoft Excel, LibreOffice Calc, GeoGebra, GNU Octave, SageMath,
le langage C.

Cette notion d'arrondi présente cependant l'inconvénient d’introduire un biais statistique lors de calculs d'arrondis successifs sur des nombres positifs, puisque l'on arrondit alors systématiquement par excès dans les cas ambigus. D'autres conventions sont parfois utilisées dans des logiciels spécialisés pour éviter ce biais statistique, la plus courante étant l'arrondi au pair le plus proche.
Arrondi au pair le plus proche

La seule différence entre l'arrondi au pair le plus proche et l'arrondi présenté plus haut réside dans le traitement des cas ambigus : lorsqu'un nombre est équidistant de deux entiers, l'arrondi entier au pair le plus proche de ce nombre est le seul qui soit pair. Par exemple :

l'arrondi entier au pair le plus proche de 2,5 est 2,
l'arrondi entier au pair le plus proche de 7,5 est 8,

On en déduit comme précédemment la notion d'arrondi au pair le plus proche à 10-n près. Par exemple :

l'arrondi au pair le plus proche à 10-2 près de 8,125 est 8,12,
l'arrondi au pair le plus proche à 10-1 près de -1,35 est -1,4.

Cette variante, aussi appelée arrondi bancaire, permet d'éviter le biais statistique mentionné plus haut. Elle est notamment mise en œuvre dans :

les micro-processeurs (norme IEEE 754),
les logiciels Mathematica et Maxima,
les langages Python, Pascal et R.

Arrondi stochastique

L'arrondi stochastique, qui consiste aussi à arrondir à l'entier le plus proche, est une autre méthode utilisée en statistiques pour éviter le biais qui surviendrait en arrondissant à chaque fois par excès lorsque les deux entiers (inférieur et supérieur) sont équidistants du nombre à arrondir : en effet, lorsque ce cas se présente, la décision d'arrondir à l'entier supérieur ou inférieur est prise de manière aléatoire ou pseudo-aléatoire. L'inconvénient de cette méthode est qu'il est difficile de vérifier ou de répliquer une analyse statistique faite de cette manière.
Autres méthodes

D'autres méthodes arrondissent de différentes manières :

en abaissant à zéro des décimales (troncature) ;
en arrondissant au plus grand entier inférieur (partie entière) ;
en arrondissant au plus petit entier supérieur (partie entière par excès).

Ces trois méthodes sont notamment mises en œuvre dans le langage C via les fonctions trunc(), floor() et ceil().

Pour ces trois méthodes, l'arrondi entier d'un nombre réel n'est pas nécessairement l'entier relatif le plus proche. Par exemple :

la troncature et la partie entière de 2,8 est 2, alors que l'entier le plus proche de 2,8 est 3,
la partie entière par excès de 5,2 est 6, alors que l'entier le plus proche de 5,2 est 5.

Lorsque le montant des salaires en France était distribué en liquide dans les années 1960 (billets et pièces de nouveaux francs) , certaines entreprises françaises, comme Lip à Besançon, utilisaient une méthode d'arrondi supérieur des salaires pour supprimer les centimes de franc dans les enveloppes : l'entreprise arrondissait au franc immédiatement supérieur le montant à verser par une avance des centimes manquants. Le mois suivant, cette avance était déduite du nouveau salaire, et la nouvelle somme à payer était également arrondie au franc supérieur, et ainsi de suite de mois en mois. Le gain pour l'entreprise était la réduction du nombre de pièces de petite monnaie à inclure dans les enveloppes de paie, pièces qu'il fallait souvent se procurer auprès de la banque de France, et la réduction du temps nécessaire pour cette opération, pour un coût relativement faible (moins d'un franc avancé en permanence par salarié). Chez Lip, ce système d'arrondi a même été conservé pour les virements bancaires des salaires jusqu'à la liquidation de l'entreprise en 1973, alors qu'il n'était plus justifié.