Les trois méthodes pour faire la limite n'ont pas fonctionné

[Dimitri42]

Bonjour, je souhaite recevoir des méthodes afin de résoudre la question.

Problème
Limite en + l'infini de : e^2x - e^x.

Question
Étudier les limites en + l'infini des fonctions suivantes.

Méthode
- Factorisé au plus haut degrés
- Multiplié par l'inverse (e^2x - e^x)(e^2x - e^x)/e^2x + e^x
- Factorisé sous la forme ( )( ).

J'ai essayais les trois méthode possibles, mais aucune n'ont fonctionné. Je suis à la recherche de méthode pour résoudre cette question.

Je vous remercie d'avance dans l'attente de vos messages.

[Black Jack]

Salut,

C'est élémentaire.

e^(2x) - e^x = e^x * (e^x - 1)

lim(x--> +oo) [e^(2x) - e^x] = lim(x--> +oo) [e^x * (e^x - 1)] = +oo * +oo = +oo

lim(x--> -oo) [e^(2x) - e^x] = 0 - 0 = 0

[Dimitri42]

Salut,

C'est élémentaire.

e^(2x) - e^x = e^x * (e^x - 1)

lim(x--> +oo) [e^(2x) - e^x] = lim(x--> +oo) [e^x * (e^x - 1)] = +oo * +oo = +oo

lim(x--> -oo) [e^(2x) - e^x] = 0 - 0 = 0

Je te remercie, j'ai finalement réussis cette question. Je suis rendu à la question suivante qui est beaucoup plus corsé. C'est à dire que nous avons Ln. Et je ne sais pas comment gérer les Logarithmes.
ln(1+e^-x)/e^-x.

Voici mon calcul:
ln(1+1/e^x)/e^-x.
Lim(x-->+oo) [1/e^x] = 0.
Ln(1) = 0.
0/e^-x je stop ici, je n'arrive pas à continué.

[aviateur]

Bonjour
Pour calculer cette limite, tu peux par exemple utiliser cet encadrement

ça doit marcher.

[LB2]

Bonjour,

l'indication d'aviateur est correcte mathématiquement mais non nécessaire.

Il suffit de commencer comme tu l'as dit par remarquer que Lim(x-->+oo) [1/e^x] = Lim(x-->+oo) e^-x = 0.

Ensuite, le taux de variation de ln au point 1 : Lim (h-> 0 ) (ln(1+h)-ln(1))/(1+h-1) = Lim (h->0) ln(1+h)/h = 1 (nombre dérivé de x->ln(x) en 1)

Conclusion : par composition des limites, la limite cherchée vaut 1.

[aviateur]

Bonjour,

l'indication d'aviateur est correcte mathématiquement mais non nécessaire.

Tout à fait d'accord!

[Black Jack]

Salut,

Beaucoup de chemins mènent à Rome.

On arrive immédiatement à la valeur de la limite (pour le second) en appliquant la règle du génial Marquis de Lhospital.

Pas apprécié par certains, mais tellement efficace.

[LB2]

En même temps, la règle de Lhospital pour un taux de variation, encore heureux que ça marche ^^
mais c'est vrai que cette règle est sous-enseignée dans le système scolaire français, à tort.

Les élèves passent d'une analyse très naïve des limites à une présentation très générale des Développements Limités (certains ne savent pas écrire l'ordre 1 sans repasser par une formule avec Sigma), et parfois on n'a pas forcément besoin des Développements Limités pour trouver une limite, même si c'est l'outil universel pour ce type de problème.

[Dimitri42]

Ensuite, le taux de variation de ln au point 1 : Lim (h-> 0 ) (ln(1+h)-ln(1))/(1+h-1) = Lim (h->0) ln(1+h)/h = 1 (nombre dérivé de x->ln(x) en 1)

Je comprends pas qu'elle formule vous avez utilisez, n'est ce pas en +oo que l'on doit faire la limite ? Pourquoi faite vous en -->0 ? (ln(1+h)-ln(1))/(1+h-1) ??

[GaBuZoMeu]

Comme tu l'as toi-même remarqué, quand tend vers , tend vers .

[Dimitri42]

GaBuZoMeu Mais pourquoi il tend au point 1

"Ensuite, le taux de variation de ln au point 1 : Lim (h-> 0 ) (ln(1+h)-ln(1))/(1+h-1) = Lim (h->0) ln(1+h)/h = 1 (nombre dérivé de x->ln(x) en 1)" ?

[GaBuZoMeu]

GaBuZoMeu Mais pourquoi il tend au point 1

Qui ça, "il" ? Fais l'effort de t'exprimer clairement. Tu y gagneras en compréhension.

Tu connais sans doute la définition de la dérivée d'une fonction au point : c'est la limite, si elle existe, de quand tend vers (en étant différent de ).
La limite de quand tend vers est la dérivée de au point .

[LB2]

Ensuite, le taux de variation de ln au point 1 : Lim (h-> 0 ) (ln(1+h)-ln(1))/(1+h-1) = Lim (h->0) ln(1+h)/h = 1 (nombre dérivé de x->ln(x) en 1)

Je comprends pas qu'elle formule vous avez utilisez, n'est ce pas en +oo que l'on doit faire la limite ? Pourquoi faite vous en -->0 ? (ln(1+h)-ln(1))/(1+h-1) ??

x tend vers + l'infini en effet.
Donc e^(-x), que l'on note aussi h, tend vers 0.

Il s'agit d'une composition de limites : limite d'une fonction composée.
La notion de composition de fonctions est mal comprise si tu hésites à la lecture de ce que j'ai écrit.