Inversion de somme de matrices inversibles

[foukar]

Bonjour à tous, j'aimerais démontrer une proposition mais je n'ai pas trop de pistes... auriez vous des idées ?
La proposition est la suivante:

A et B sont deux matrices carrées de même dimension inversibles dont la somme est inversible;
alors la somme de leurs inverses est également inversible.

Voilà, c'est tout, merci d'avance pour vos réponses !

[Lostounet]

Hello,

M est inversible équivaut à det(M) non nul.

Puisque A et B sont inversibles, on a:



Par multiplicativité du déterminant, on a le det de la somme des inverses qui vaut:

Det(A+B)/det(A)det(B) qui est non nul

[foukar]

Ah oui effectivement. merci pour ton aide !

[Ben314]

Salut,
Et on peut tout à fait se passer de la notion de déterminant (ce qui en particulier montre que le résultat est valable sur n'importe quel anneau) : est le produit de 3 éléments inversible donc il est inversible (et son inverse est )