Inversion de matrices

[Mathusalem]

Si tu multiplies à droite par une matrice 5x1, alors oui.

Tu ne pourrais pas multiplier à gauche, car la multiplication matricielle (5,1)x(5,5) n'est pas définie.

En revanche, si tu te demandes pourquoi la multiplication matricielle est définie tel quel, c'est pour la raison suivante :

Imagine deux applications linéaires f et g. Leur composition est h = f rond g.

Tu peux représenter ces applications linéaires f et g par des matrices F et G. Tu obtiens la représentation matricielle de H en faisant F (produit matriciel) G. En gros, le produit matriciel est tel qu'il est pour correspondre à la composition d'applications linéaires.

[Dlzlogic]

Si tu multiplies à droite par une matrice 5x1, alors oui.

Tu ne pourrais pas multiplier à gauche, car la multiplication matricielle (5,1)x(5,5) n'est pas définie.

En revanche, si tu te demandes pourquoi la multiplication matricielle est définie tel quel, c'est pour la raison suivante :

Imagine deux applications linéaires f et g. Leur composition est h = f rond g.

Tu peux représenter ces applications linéaires f et g par des matrices F et G. Tu obtiens la représentation matricielle de H en faisant F (produit matriciel) G. En gros, le produit matriciel est tel qu'il est pour correspondre à la composition d'applications linéaires.

Nos messages se sont croisés.
Ces longs et compliqués calculs donnent des résultats identiques, à la précision près, à une simple résolution d'un système linéaire, par contre ça ne correspond pas à l'exemple de mon correspondant.
Pour le dernier paragraphe, bien sûr je sais cela.
Mais j'ai un peu de mal à voir le rapport entre un système linéaire et la composition de deux applications. En tout cas, quand le but recherché et à atteindre le plus rapidement possible est obtenu pas un simple résolution d'un système, un pivot de Gauss et tac, c'est terminé.

[Mathusalem]

Pour le dernier paragraphe, bien sûr je sais cela.

Tu sais cela, mais tu ne sais pas faire une multiplication matricielle ?

[Dlzlogic]

Tu sais cela, mais tu ne sais pas faire une multiplication matricielle ?

Ben non.
Tu sais bien que je n'utilise pas le calcul matriciel, alors pourquoi saurais-je faire une multiplication de matrice.
Par contre, je me souviens des notions fondamentale qu'on m'a enseigné il y a 50 ans. Mais j'ai repris des bouquins et maintenant, oh joie, je sais faire une multiplication de matrice.

Pour être sérieux, mon problème était celui-là : quelqu'un me demande de faire un calcul. Pour expliquer ce qu'il veut il emploie une méthode que je n'utilise pas, même si je comprends ce que cela veut dire.
Je suis persuadé que l'utilisation de cette méthode, comparée à une méthode plus simple, n'est pas justifiée, donc pour avoir de l'aide et des explications, j'ouvre un sujet. Cependant je n'ai aucune certitude en et sur quoi que ce soit.

Je n'ai pas posé la question en ces termes, mais j'aurais pu la poser ainsi :
Etant donné un ensemble de paramètres, qui peuvent être considérés comme les paramètres d'un système d'équations linéaires régulier, quel est l'intérêt de calculer l'inverse d'une matrice qui n'est en fait qu'un tableau.
Autant je comprends qu'on calcule des résultats relatifs au calcul matriciel par le résolution de système linéaire, autant je ne comprends pas qu'on ramène le calcul de système linéaire à un calcul matriciel. Mais ça c'est mon problème de limitation intellectuelle.

Il est vrai que depuis l'ouverture de ce sujet, j'ai énormément lu et énormément calculé. Il est donc normal que les termes (de ma question) soient différents. Il ne s'agit pas donc de mauvaise foi.

Pour conclure : j'ai vérifié que la méthode simple donne les mêmes résultats que la méthode compliquée. Par contre, il reste un doute, les résultats que j'obtiens (l'une ou l'autre méthode) ne sont pas ceux que m'a donnés mon correspondant. Soit il s'est trompé, et ce ne serait pas étonnant, vu la complexité, soit les résultats sont bons et la méthode de calcul n'est pas celle qui doit être utilisée.

Donc, en ce qui concerne le sujet proposé initialement, j'ai réponses à mes questions. Merci.

[Sylviel]

Etant donné un ensemble de paramètres, qui peuvent être considérés comme les paramètres d'un système d'équations linéaires régulier, quel est l'intérêt de calculer l'inverse d'une matrice qui n'est en fait qu'un tableau.
Autant je comprends qu'on calcule des résultats relatifs au calcul matriciel par le résolution de système linéaire, autant je ne comprends pas qu'on ramène le calcul de système linéaire à un calcul matriciel. Mais ça c'est mon problème de limitation intellectuelle.

Les matrices ont été très très largement étudiées dans le cadre de ce qu'on appelle l'algèbre linéaire. On étudie soit les applications linéaires, soit les matrices, passant de l'un à l'autre suivant ce qui est le plus pratique. Et il y a dessus énormément de résultats très puissant. Voilà pourquoi on ramène les systèmes linéaires aux matrices. C'est pour pouvoir utiliser les théorèmes et outils développés sur les matrices.

Mais je répète encore ce qui a été dis plusieurs fois :
- a priori (enfin visiblement Benjamin connait un domaine où ce n'est pas le cas) on n'inverse pas une matrice pour résoudre un système linéaire particulier
- si on doit le résoudre un grand nombre de fois avec différentes valeurs à droite de l'égalité il vaut mieux calculer la matrice inverse.

Finalement les matrices sont bien des tableaux de nombre, mais les a muni d'une loi de multiplication et d'addition.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Voilà, j'ai calculé une matrice inverse. Apparemment il n'y a pas d'erreur ni de doute sur ce résultat.

Code: Tout sélectionner

0.03422  -0.00836  0.00210  -0.02796  0.00000 
-0.01565  0.01901  -0.00198  -0.00137  0.00000 
-0.00465  0.00079  0.01097  -0.00712  0.00000 
-1.04931  -1.07700  -1.06444  2.19075  1.00000 
-0.06496  -0.05800  -0.06643  1.18938  -0.00000

Conformément a tout ce qui a été dit précédemment, il reste à multiplier par la matrice 5x1 suivante

Code: Tout sélectionner

60   60   60   0,5     1

Je trouve (avec Excel, donc par des copie de nombres)

Code: Tout sélectionner

1,685
0,083
0,424
-189,305
-10,446


Ces résultats sont confirmés par la résolution directe du système linéaire

Code: Tout sélectionner

1.663583 0.081616 0.423710 -189.349872 -10.768255

(ne pas faire attention au nombre de décimales, c'est au stade d'étude)
Mon correspondant trouve

Code: Tout sélectionner

0,24566308662066    0,08993696007382    0,06677562456134    0,09762432874343    0,50000000000082

Apparemment il a utilisé l'outil suivant : http://www.calcul.com/matrix-multiply-1x5-5x5

Vous comprenez qui je sois un peu paumé, merci de me donner un coup de main.

[ampholyte]

Bonjour,

J'ai l'impression qu'il y a un petit problème au niveau de la multiplication des matrices. J'obtiens le même résultat que votre collègue.
En revanche, j'ai l'impression que vous avez effectué le mauvais calcul matriciel.
Le seul produit possible est

Pour détailler un peu :
- Méthode de votre collègue colonne 0 ligne 0 :
M[0][0] = 0.03422 *60 - 0.01565*60 - 0.00465 * 60 - 1.04931 * 0.5 - 0.06496 * 1

- Impression de votre méthode :
M[0][0] = 0.03422 *60 - 0.00836 * 60 + 0.00210 * 60 - 0.02796 * 0.5 + 0.00000 * 1
Or ce produit là ne peut exister.

Si est une matrice de type (m, n) et est une matrice de type (n, p), alors leur produit, noté est une matrice de type (m, p) donnée par :
(src : http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_matriciel)

C'est pour cette raison que le produit BA n'existe pas si p et m sont différents.

Ces résultats sont confirmés par la résolution directe du système linéaire

En revanche je n'explique pas ce résultat.

Serait-il possible d'avoir la développement des étapes de vos calculs ? (en screen ou photo si plus rapide) ?

[Dlzlogic]

Je crois que j'ai trouvé la raison de la différence.
Dans "mon" calcul, j'utilise la matrice inverse, calculée par la méthode que j'ai lue
1- calcul de sa transposée
2- chaque terme de la matrice inverse est égal au cofacteur divisé par le déterminant de A
Ensuite le résultat final est obtenu en faisant la somme des produits de chaque terme de la ligne et du terme de rang (col) de la matrice B(5x1).
Le résultat est identique au calcul de la résolution du système.

Dans le calcul fait par l'outil dont le lien est cité, le résultat est obtenu en ajoutant, pour chaque colonne le produit des termes d'une même ligne. En d'autres termes, il s'agit du produit de B(5x1 ou 1x5 ?) par la transposée de A^-1.

Je rappelle que A est une matrice 5x5 et B une matrice (5x1)

Je suppose qu'on va me dire "ça dépend de ce qu'on cherche".
Bref, je suis perdu.

A noter que le site dont je parle est anglophone, les conventions sont-elle les mêmes ? J'en sais rien.

[ampholyte]

Je crois que j'ai trouvé la raison de la différence.
Dans "mon" calcul, j'utilise la matrice inverse, calculée par la méthode que j'ai lue
1- calcul de sa transposée
2- chaque terme de la matrice inverse est égal au cofacteur divisé par le déterminant de A
Ensuite le résultat final est obtenu en faisant la somme des produits de chaque terme de la ligne et du terme de rang (col) de la matrice B(5x1).
Le résultat est identique au calcul de la résolution du système.

Dans le calcul fait par l'outil dont le lien est cité, le résultat est obtenu en ajoutant, pour chaque colonne le produit des termes d'une même ligne. En d'autres termes, il s'agit du produit de B(5x1 ou 1x5 ?) par la transposée de A^-1.

Je rappelle que A est une matrice 5x5 et B une matrice (5x1)

Je suppose qu'on va me dire "ça dépend de ce qu'on cherche".
Bref, je suis perdu.

A noter que le site dont je parle est anglophone, les conventions sont-elle les mêmes ? J'en sais rien.

Pour ce qui est des conventions, elles sont les mêmes au moins pour ce cas de figure.
En revanche le site anglais traite les produits matriciels du type B*A avec B une matrice (1*5), votre collègue n'a pas vérifié le produit.

Il faut rappeler que le produit matriciel n'est pas commutatif.

En outre, la matrice B(1,5) et B(5,1) ne sont pas les mêmes matrices respectivements une matrice ligne et une matrice colonne.
Dans le premier cas, la multiplication possible est B*A, dans le second cas (le votre) elle sera A * B. Les résultats que vous obtenez sont donc tout à fait normal.

L'erreur vient de votre collègue qui a confondu matrice ligne et matrice colonne.

Je me permets de poster le lien vers votre calcul sur le site de votre collègue : [url]http://www.calcul.com/matrix-multiply?m_op=Multiply&m_m1=[[0.03422,-0.00836,0.00210,-0.02796,0.00000],[-0.01565,0.01901,-0.00198,-0.00137,0.00000],[-0.00465,0.00079,0.01097,-0.00712,0.00000+],[-1.04931,-1.07700,-1.06444,2.19075,1.00000+],[-0.06496,-0.05800,-0.06643,1.18938,-0.00000]]&m_m2=[[60],[60],[60],[0.5],[1]][/url].

[Dlzlogic]

Pour ce qui est des conventions, elles sont les mêmes au moins pour ce cas de figure.
En revanche le site anglais traite les produits matriciels du type B*A avec B une matrice (1*5), votre collègue n'a pas vérifié le produit.

Il faut rappeler que le produit matriciel n'est pas commutatif.

En outre, la matrice B(1,5) et B(5,1) ne sont pas les mêmes matrices respectivements une matrice ligne et une matrice colonne.
Dans le premier cas, la multiplication possible est B*A, dans le second cas (le votre) elle sera A * B. Les résultats que vous obtenez sont donc tout à fait normal.

L'erreur vient de votre collègue qui a confondu matrice ligne et matrice colonne.

Je me permets de poster le lien vers votre calcul sur le site de votre collègue : [url]http://www.calcul.com/matrix-multiply?m_op=Multiply&m_m1=[[0.03422,-0.00836,0.00210,-0.02796,0.00000],[-0.01565,0.01901,-0.00198,-0.00137,0.00000],[-0.00465,0.00079,0.01097,-0.00712,0.00000+],[-1.04931,-1.07700,-1.06444,2.19075,1.00000+],[-0.06496,-0.05800,-0.06643,1.18938,-0.00000]]&m_m2=[[60],[60],[60],[0.5],[1]][/url].

Merci vraiment de regarder ça en détail.
Si ça vous intéresse je vous donnerai volontiers mon calcul en C.
Je crois que maintenant le problème numérique est résolu.
Merci.

[Anonyme]

Pour moi, la "formule" générale de transformation en 3D s'écrit
X=TX + XX.x + XY.y + XZ.z
Y=TY + YX.x + YY.y + YZ.z
Y=TZ + ZX.x + ZY.y + ZZ.z
où TX, TY, TZ sont les composantes de translation et XX,XY,XZ, ...,ZZ sont les composantes de la transformation affine qui est la composée d'une rotation, d'une homothétie et d'une affinité.
.

Salut Dlzlogic et bonne année à toi

Je suis intéressé par ton truc que je ne connais pas !

Peux tu développer un peu plus , en quelques lignes , car là je n'ai rien compris à ce que tu essaies d'expliquer dans le message ci dessus (message qui semble si évident pour toi mais pas pour moi...)

Merci et A+

[Dlzlogic]

Salut Dlzlogic et bonne année à toi

Je suis intéressé par ton truc que je ne connais pas !

Peux tu développer un peu plus , en quelques lignes , car là je n'ai rien compris à ce que tu essaies d'expliquer dans le message ci dessus (message qui semble si évident pour toi mais pas pour moi...)

Merci et A+

Salut Ptitnoir et bonne année.

Mon truc, comme tu dis est utilisé en particulier chaque fois que tu demandes ta position à ton GPS. Mais sans aller aussi loin dans technologie, voilà à quoi ça sert.
Pour être plus simple, je me contenterai du 2D.
Soit une carte quelconque. On pourra l'appeler "Plan" puisqu'il s'agit d'échelles supérieures à 1/20000.
On dispose d'un autre plan de la même zone, dressé par un autre géomètre, avec un autre système de coordonnées. On doit mettre en correspondance les deux plans, on va alors faire une similitude qui s'écrit
X = TX + K* (x coxA - y sinA)
Y = TY + K* (x sinA + y cosA)
TX et TY sont les paramètre de translation, A l'angle de rotation et K le rapport d'homothétie.
Cette formule est bien connue. A noter que dans certaines spécialités et à certaines conditions, elle est connue sous le nom d'Helmert. C'est un abus de langage puisque Helmert s'est contenté de mettre au point des méthodes de résolution, ce qui est déjà pas mal.

L'application de cette formule sous entend que "tout est parfait", c'est à dire que le rapport entre les distance mesurées suivant la direction de X et celles suivant la direction des Y est exactement 1, que l'angle des X et des Y est exactement un angle droit etc. ce qui n'est jamais le cas.
Au lieu d'avoir 2 paramètres K*cosA et K*sinA, utilisables autant pour les X que pour les Y, on va en avoir 4, que j'appelle XX, XY, YX, YY. Les formules deviennent donc
X = TX + XX.x + XY.y
Y = TY + YX.x + YY.y
On remarque qu'on peut se passer de préciser où est le signe '-' et on remarque aussi que la formule contient 6 paramètres et non plus deux plus une translation optionnelle. Je rappelle que il existe une homothétie-rotation et une seule pour faire une similitude et qu'il en existe une infinité si on rajoute une translation.
Par contre, étant donné deux figures résultant l'une de l'autre par une transformation affine (homothétie + rotation + affinité + translation) il n'existe qu'un seul groupe de 6 paramètres.

Avec des objets en 3D, c'est strictement la même chose : 12 paramètres au lieu de 6. Ce qui justifie, entre autre, qu'il est beaucoup plus économique de travailler en 2.5D plutôt qu'en 3D, quand c'est possible.
Je tiens à préciser que sauf modification que je n'aurais pas vues, les articles de Wiki disent n'importe quoi.

Je pourrais écrire une suite : "dans la pratique comment on fait pour établir les paramètres de cette formule".

[Sylviel]

Ce qui s'écrit en langage matriciel :

U' = T + AU

Où C' est le vecteur des nouvelles coordonnées, T le vecteur de translation, A une matrice 3*3, et U le vecteur des anciennes coordonnées.

[Dlzlogic]

Ce qui s'écrit en langage matriciel :

U' = T + AU

Où C' est le vecteur des nouvelles coordonnées, T le vecteur de translation, A une matrice 3*3, et U le vecteur des anciennes coordonnées.

Oui, si on veut, pourquoi pas, mais quel intérêt ?
Il pourrait y avoir un intérêt si T et A faisaient l'objet d'un calcul théorique supplémentaire, ce n'est pas le cas, mais par contre, si ptitnoir comprends mieux, alors, c'est mieux.

Pour l'utilisation de la formule, ce sera toujours, par ligne, 3 multiplications et une addition, mais on peut écrire aussi
U' = f(U) ce qui est effectivement le cas dans les programmes où j'ai des fonctions dont la signature est du genre :
Pn=Affine->Transform(Pa)
Je me demande ce qu'aurait dit ptitnoir si je ne lui avait répondu que cette dernière ligne.

Par ailleurs, quand j'établis les paramètres de la formule (12 paramètres), j'ai 12 équation linéaires, quel rapport avec la matrice 3x3 ?

[Sylviel]

L'intérêt ?

-> formule plus compacte et donc plus claire (moins de coefficients à interpréter)
-> on voit directement la différence entre la translation et la transformation linéaire
-> La plupart des librairies/logiciel de calculs on le calcul matriciel déjà implémenté et il suffit donc d'écrire la formule que j'ai donnée, et non pas 3 formules avec trois sommes
-> si tu veux changer de base il suffit de multilier l'ensemble de l'équation par une matrice de changement de base
-> la formule s'écrit de la même manière quelque soit la dimension
...

Et le rapport avec la matrice 3*3 (j'ai vraiment l'impression de me répéter) c'est qu'elle correspond à la partie linéaire de ta transformation. En clair la matrice A sera avec tes notations :
XX XY XZ
YX YY YZ
ZX ZY ZZ

Rq : quand tu écris U'=f(U) tu ne précises pas qu'il s'agit d'une transformation affine...

[Dlzlogic]

Bon, j'ai peut-être pas été assez clair.
J'ai 2 plans. On reste en 2D
J'identifie une dizaine de points homogènes (xi,yi) (Xi,Yi)
Ce que je "dois" faire, c'est transformer quelques milliers de points d'un système dans l'autre.
On est bien d'accord qu'on peut écrire U' = T + AU
sachant que U a pour coordonnées (x,y).
Et ensuite, qu'est-ce qu'on fait ?

Concernant la dimension, on sait, en tout cas il vaut mieux le savoir, si on travaille en 2D ou en 3D.

La plupart des librairies/logiciel de calculs ont le calcul matriciel déjà implémenté et il suffit donc d'écrire la formule que j'ai donnée, et non pas 3 formules avec trois sommes

. Moi, j'ai été obligé de les écrire moi-même. Peut-être des logiciels de calculs mathématiques ont ça, moi pas.
Et dans tous les cas, j'ai un principe : ne jamais demander à une machine de faire un calcul que je ne saurais pas faire à la main.

Abordons le problème sous un autre angle. On doit réaliser un outil de transformation (typiquement coordonnées géographiques -> projection plane). Toi, sur ton papier, tus vas écrire U' = T + AU.
Tu vas faire quoi de cette formule, la donner à quelqu'un d'autre qui va se tapper le calcul des 6 paramètres ? Il va faire comment ? Alors il va te demander des "points de calage" puis il va revenir en distant "qu'est-ce que je dois rentrer dans la machine ?"
On peux faire un essai si tu veux, je te donne une série de 10 points connus dans les 2 systèmes puis une liste de points à transformer.

[Dlzlogic]

Je suis intéressé par ton truc que je ne connais pas !
Peux tu développer un peu plus

Question : tu cherchais a me faire écrire des choses que d'aucun allait contredire avec plaisir, ou ça t'intéresse vraiment.
J'ai été faire un tour sur le net.
Ben oui, on ne parle que de matrice, moi, je veux bien, apparemment l'outil prime sur le but à atteindre.
Par ailleurs, je n'ai pas retrouvé l'article de Wiki qui sévissait autrefois.

[Sylviel]

ne jamais demander à une machine de faire un calcul que je ne saurais pas faire à la main.

Soit. Mais en même temps ne pas recoder quelque chose qui l'est déjà. Tu as de très forte chance de faire moins bien. Et des librairies d'algèbre linéaire il y en a plein, et dans tous les langages.

Pour tes points, rien de nouveau :
1) identifier les coefficients de la matrice (par moindre carrés par exemple) et de la translation
2) calculer tes nouvelles coordonnées à partir des anciennes avec la formule.

1-
Pour identifier tes paramètres tu peux écrire le problème ainsi :

Pour résoudre soit tu peux le faire analytiquement soit tu utilises un algo. Ici une résolution analytique doit être faisable sans grande difficulté.

2- pour obtenir tes nouvelles coordonnées tu écris simplement
U'=AU+T avec U tes anciennes coordonnées.

Utiliser des matrices cela ne change rien, c'est juste une autre manière manière plus compacte et pratique d'écrire les choses. J'ai l'impression que tu as une opposition systématique à ce qui ne rentre pas dans TA manière de faire et de voir les choses... Si tout le monde utilise les matrices c'est peut-être que ça fait gagner du temps et de l'énergie non ? Bien sûr comme tout outil il faut le prendre en main pour en comprendre l'intérêt...

Et oui sur un problème pratique tu sais si tu es en dimension 1,2,3 ou 10. Mais as-tu besoin d'apprendre une formule / manière de faire différente pour chacune de ces dimensions ? Non puisque c'est quasiment la même chose. Et une fois écrit sous forme matricielle c'est la même chose.

P.S : au moins pour le moment tu ne dis pas de bêtise dans cette discussion. Tu reste juste avec des outils basique en ayant peur d'outils plus perfectionnés.

[Dlzlogic]

Oui, je comprends bien ce que tu dis.
J'ai ouvert ce sujet parce que j'étais vraiment largué à cause du fait que mon correspondant me balançai des matrices, des inversions de matrices, que les résultats ne collaient pas. Si Ampholye ne m'avait pas aidé, je crois que je n'y serais jamais arrivé.
Il s'agissait d'un simple système linéaire.

Pour les outils basiques, je te donne des références si tu veux.
Tu sais, quand un bureau d'étude du CNRS essaye de se faire passer pour un thésard afin d'avoir mon logiciel de calcul gratos, c'est que mes "outils basiques" doivent pas être trop mauvais.
Ce qu'il faut savoir aussi, le problème du changement de base (transformation affine) est suffisamment difficile pour éviter, en particulier, de le ramener à une matrice. Et dans le cas présent, ça ne simplifie rien du tout.
D'ailleurs, c'est toi-même qui m'a dit que sauf cas particulier, la solution "basique" était la meilleure pour résoudre un système linéaire.

PS: Petite confidence. La méthode "basique" que j'utilise, c'est à dire le code source, m'a été donné sous sa forme basique il y a une quinzaine d'années par un X qui, concernant ce type de problématique, n'a de conseils à recevoir de personne. Maintenant, il a pris sa retraite. Le calcul matriciel existe depuis fort longtemps, alors pourquoi lui, X très compétent dans ce domaine a-t-il utilisé des outils basiques ?

[fatal_error]

de toute facon, discuter sur la meilleure facon de resoudre un systeme lineaire sans condition ni criteres, c'est un peu sterile.