Equation avec Arcsin

[Shaolan]

Bonjour à tous, je me présente, j'ai 20 ans, je suis en prépa maths ( MP ) et j'adore les maths ^^ à tel point que j'en rêve...

Je me suis posé un problème au cours d'un rêve, et j'ai presque trouvé la solution.
Pour terminer, je dois ( simplement ) résoudre cette équation :



C'est-à-dire que je dois trouver r en fonction de R.

Je voudrais savoir s'il existe des méthodes pour résoudre ce genre d'équation de façon analytique ( ou au pire, de façon numérique... ).

J'ai essayé avec Maple 10, mais le résultat est légèrement abominable ^^"

Sinon, je détaillerai le problème et mes calculs pour vous montrer le raisonnement.
Vous aurez peut être une autre façon ( plus simple ) d'aborder le problème ; )

[Black Jack]

En général, ce genre d'équations ne peut pas être résolu analytiquement.

Si une variable se trouve à la fois dans un argument de sinus, cosinus, log ... d'une part et d'autre part à l'extérieur de cet argument, même avec des équations qui semblent simple, par exemple comme sin(x) = x, on ne peut pas trouver de solution analytiquement.

On peut parfois approcher les solutions en utilisant des développements limités ou bien en étudiant les variations d'une fonction (par ex F(x) = sin(x) - x dans le cas ci-dessus) et en déduisant des intervalles de la variable pour lesquels F(x) est monotone et qui contiennent une valeur de x qui annule F(x)), on approche alors ensuite les solutions par approximations successives.

Mais cela ne se prète pas à des expressions littérales et a fortiori contenant plusieurs variables.

:zen:

[Shaolan]

Merci Black Jack ^^

J'avais pensé au développement limité, comme en physique, mais j'espérais une résolution analytique avant de me lancer dedans...

Maple me donne une solution infecte, mais avec des complexes il me semble...
Pourtant, mon problème n'est pas si compliqué, et devrait avoir une solution réelle.


Figure :




Enoncé :

Soit D un demi-disque de rayon R, de centre O.
Soit C un cercle passant par les points A = (-R,0), B = (R,0) et C = (0,-r) et de centre O' appartenant à l'axe des ordonnées.
Question : Exprimer r en fonction de R tel que l'aire grise soit égale à la moitié de l'aire du demi-disque D.


Raisonnement :
1°) Trouver le rayon Rho du cercle C en fonction de r et de R;
2°) Trouver l'aire grise en fonction de r et de R;
3°) Exprimer r en fonction de R.


1°)


Je ne pense pas avoir fait d'erreur, c'est bien homogène à une distance et les conditions aux limites (r=R, r=-inf, r=+inf) donnent les bons résultats.


2°)


L'aire grise vaut donc l'aire délimitée par ce "camembert de Trivial Poursuite" moins celle du triangle O'AB.

Aire du camembert :


Aire du triangle O'AB :


Aire grise :


Aire du demi-disque D :


3°)
Nous voici donc à la dernière étape, celle de la mise en équation.

On doit avoir 2Ag = Ad 2ag - Ad = 0 d'où :


On peut simplifier par 2r² puisque l'on est dans le cas R > 0


Et enfin :



Voilà tout le raisonnement, si vous voyez une erreur ou que vous pensez avoir une méthode plus simple, faites-moi signe ^^


PS : j'ai changé la formule du premier message, il y avait une erreur de 2 devant Pi.

[abcd22]

Bonjour,
Quelqu'un a posé une question similaire récemment là. La solution est donnée par Flodelarab.

[Black Jack]

shaolan,

Ta réponse est correcte.

:zen:

[Shaolan]

Bonjour,
Quelqu'un a posé une question similaire récemment là. La solution est donnée par Flodelarab.

Merci abcd22, mais son problème est un peu différent du mien, et la réponse de Flodelarab repose sur des approximations si j'ai bien compris...

shaolan,

Ta réponse est correcte.

:zen:

Merci Black Jack, au moins le début est bon, je ne vais pas avoir à refaire tous les calculs XD
Sympa le tex, je viens de voir comment tu écrivais les formules, c'est sans doute moins long que de taper sous Maple, puis faire un screen et enfin le recadrer...


J'ai terminé d'exposer le problème et ma façon de l'aborder, à vous de me dire ce que vous en pensez ^^
Je tiens à préciser que je n'ai aucune donnée sur r et R, je le fais vraiment dans le cas général... je sens que je vais devoir passer au développement limité ><

[Shaolan]

Bon j'ai bien compris qu'il n'y avait pas de solution analytique...

J'ai donc décidé de chercher une solution approchée en raisonnant ainsi :
Pour des soucis d'homogénéité, on doit trouver r = R avec 0 < < 1
Comme on a l'expression de l'aire grise, il suffit de remplacer r par R dedans :





Car R est non nul

A résoudre, c'est encore la galère, donc on va dériver et essayer de trouver une valeur approchée en sachant que 0 < < 1

Soit

Grâce à un logiciel comme Maple, on peut dériver cette fonction et étudier ses variations...
Je vous passe les calculs immondes et autres graphes barbares pour vous donner l'approximation suivante :



A noter que la solution est proche de finalement, et que c'est la seule sur ]0,1[


Voilà, le problème est résolu, même si j'aurais préféré avoir une solution analytique...