Salut les ami(e)s pour vous c'est quoi une dimension? A votre avis existe-t-il une différence entre la dimension en maths et la dimesnion en physique?
Merci pour vos réponses
Cordialement
Raptor
Dimension
9 messages
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par Skullkid » 12 Aoû 2007, 11:32
Bonjour,
En maths, si on considère un espace vectoriel E, E est dit de dimension finie s'il existe un ensemble fini S de vecteurs (on parle souvent de "famille finie de vecteurs") de E qui engendre E (c'est-à-dire que tout vecteur de E peut s'écrire comme combinaison linéaire d'éléments de S).
Si E est de dimension finie, on démontre qu'il existe des familles génératrices de E (c'est-à-dire qui engendrent E) dont le cardinal (c'est-à-dire le nombre d'éléments) est minimal. On appelle ces familles des bases de E, et on montre qu'elles ont toutes le même cardinal. C'est ce cardinal commun qu'on appelle "dimension de E".
Ça correspond bien à la notion de dimension couramment utilisée : notre espace géométrique est à 3 dimensions (ou de dimension égale à 3), tu t'en aperçois parce que tu peux repérer un point dans l'espace grâce à 3 coordonées. De même, un plan est de dimension égale à 2.
Après, on peut construire des espaces vectoriels de dimension supérieure à 3, et même des espaces vectoriels de dimension infinie.
Si tu as un peu de mal à comprendre, l'article suivant donne quelques exemples, ça pourra peut-être t'aider :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Dimension_d%27un_espace_vectoriel
En éspérant t'avoir donné une réponse satisfaisante
En maths, si on considère un espace vectoriel E, E est dit de dimension finie s'il existe un ensemble fini S de vecteurs (on parle souvent de "famille finie de vecteurs") de E qui engendre E (c'est-à-dire que tout vecteur de E peut s'écrire comme combinaison linéaire d'éléments de S).
Si E est de dimension finie, on démontre qu'il existe des familles génératrices de E (c'est-à-dire qui engendrent E) dont le cardinal (c'est-à-dire le nombre d'éléments) est minimal. On appelle ces familles des bases de E, et on montre qu'elles ont toutes le même cardinal. C'est ce cardinal commun qu'on appelle "dimension de E".
Ça correspond bien à la notion de dimension couramment utilisée : notre espace géométrique est à 3 dimensions (ou de dimension égale à 3), tu t'en aperçois parce que tu peux repérer un point dans l'espace grâce à 3 coordonées. De même, un plan est de dimension égale à 2.
Après, on peut construire des espaces vectoriels de dimension supérieure à 3, et même des espaces vectoriels de dimension infinie.
Si tu as un peu de mal à comprendre, l'article suivant donne quelques exemples, ça pourra peut-être t'aider :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Dimension_d%27un_espace_vectoriel
En éspérant t'avoir donné une réponse satisfaisante
par raptor77 » 12 Aoû 2007, 12:15
Skullkid a écrit:Bonjour,
En maths, si on considère un espace vectoriel E, E est dit de dimension finie s'il existe un ensemble fini S de vecteurs (on parle souvent de "famille finie de vecteurs") de E qui engendre E (c'est-à-dire que tout vecteur de E peut s'écrire comme combinaison linéaire d'éléments de S).
Si E est de dimension finie, on démontre qu'il existe des familles génératrices de E (c'est-à-dire qui engendrent E) dont le cardinal (c'est-à-dire le nombre d'éléments) est minimal. On appelle ces familles des bases de E, et on montre qu'elles ont toutes le même cardinal. C'est ce cardinal commun qu'on appelle "dimension de E".
Ça correspond bien à la notion de dimension couramment utilisée : notre espace géométrique est à 3 dimensions (ou de dimension égale à 3), tu t'en aperçois parce que tu peux repérer un point dans l'espace grâce à 3 coordonées. De même, un plan est de dimension égale à 2.
Après, on peut construire des espaces vectoriels de dimension supérieure à 3, et même des espaces vectoriels de dimension infinie.
Si tu as un peu de mal à comprendre, l'article suivant donne quelques exemples, ça pourra peut-être t'aider :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Dimension_d%27un_espace_vectoriel
En éspérant t'avoir donné une réponse satisfaisante
OUi merci :zen:
par raptor77 » 12 Aoû 2007, 16:41
Ya un truc que je pige sur WIki ils disent L'espace vectoriel R
admet comme base ((1;0;0),(0;1;0),(0;0;1)) mais R
ca admet comme base ((0;0),(0;1)) ou ((0;1),(1;(0)) et R c (0;0) ou (0;1) ?
par Skullkid » 12 Aoû 2007, 17:37
Une base de 
c'est ((1,0),(0,1)), ça correspond à la base (i,j) d'un repère orthonormé qu'on utilise par exemple pour tracer le graphe d'une fonction dans le plan. Une base de 
c'est tout simplement (1) (ou n'importe quel réel non nul).
Une base ne contient jamais le vecteur nul, parce que quel que soit le coefficient placé devant, il est toujours nul, donc il n'engendre rien (à part l'espace réduit à lui-même). Tu peux vérifier par exemple que la famille ((0,0),(0,1)) ne suffit pas à engendrer tout entier :
si tu prends deux réels a et b, le vecteur a(0,0) + b(0,1) sera égal à (0,b), donc aura toujours sa première composante (ou coordonnée) nulle. Ainsi, le vecteur (3,2) par exemple ne peut pas s'écrire comme combinaison linéaire de (0,0) et (0,1).
D'un autre côté, la famille ((0,0),(0,1),(1,0)) engendre, mais ça n'est pas une base puisqu'elle n'est pas de cardinal minimal : la famille ((0,1),(1,0)) suffit. Voilà pourquoi le vecteur nul n'apparaît jamais dans une base : il est "superflu".
Une base ne contient jamais le vecteur nul, parce que quel que soit le coefficient placé devant, il est toujours nul, donc il n'engendre rien (à part l'espace réduit à lui-même). Tu peux vérifier par exemple que la famille ((0,0),(0,1)) ne suffit pas à engendrer
si tu prends deux réels a et b, le vecteur a(0,0) + b(0,1) sera égal à (0,b), donc aura toujours sa première composante (ou coordonnée) nulle. Ainsi, le vecteur (3,2) par exemple ne peut pas s'écrire comme combinaison linéaire de (0,0) et (0,1).
D'un autre côté, la famille ((0,0),(0,1),(1,0)) engendre
par quinto » 12 Aoû 2007, 18:46
On peut définir beaucoup d'autres dimensions qui ne sont pas des dimensions d'espace vectoriel...
Les dimensions refletent malgré tout l'idée que l'on s'en fait.
Les dimensions refletent malgré tout l'idée que l'on s'en fait.
par raptor77 » 12 Aoû 2007, 18:58
quinto a écrit:On peut définir beaucoup d'autres dimensions qui ne sont pas des dimensions d'espace vectoriel...
Les dimensions refletent malgré tout l'idée que l'on s'en fait.
Donc quel est ta définition d'une dimension? combien existe-t-il de types de dimension? et c'est quoi la différence entre une différenre topologique et vectoriel selon toi?
par raptor77 » 14 Aoû 2007, 15:38
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