[Résolu] Augmentation des chances de gagner à pile ou face ?

[CLeBeR]

Bonjour,
j'ai eu un débat avec un ami sur les chances de gagner à la roulette Anglaise. Si l'on part du principe que l'on pari uniquement sur la case rouge ou noir et qu'il n'y a pas de 0 éliminatoire. Le jeu est donc similaire à pile ou face. Personnellement, je pense que les chances de gagner sont de . Chaque tirage est indépendant et donc n'est pas influencé par les issues précédentes. Je pense qu'il faut distinguer deux cas :
Le premier cas est de gagner au moins une fois.
Le deuxième cas est d'avoir un nombre de victoires égal ou supérieur au nombre de défaites (des gains supérieurs au final).
Comment calculer tout cela ? La phrase qui à fait naître le débat est exactement celle-ci :

Si tu joues plus, tu as plus de chances de gagner.

Est-ce vrai ? Merci !

[beagle]

Tu sembles avoir les bons outils(quelqu'un qui parle d'indépendance, cela ne présage que du bon!). Ta demande n'est pas encore assez précise, puisque la phrase "plus tu joues , plus tu as de chances de gagner" ne veut rien dire sans précision.

Gagner au moins une fois, ben oui plus tu joues plus tu as des chances de gagner au moins une fois.
Au moins une fois est le contraire de perdre tout le temps, de sorte que gagner au moins une fois c'est:
1 - proba de perdre tout le temps
donc si tu joues n fois, perdre tout le temps, c'est (1/2)^n
quand n augmente ce truc diminue et donc 1 - diminue augmente.

Si c'est je continue de jouer et au bout du compte je serai gagnant en nombre de gains moins nombre de perte, ben là c'est pas évident à répondre.
Pour un humain qui ne peut pas jouer à l'infini c'est non.Tu peux perdre puis avoir un nombre de perte supérieur au nombre de gain qui va s'amplifier ou rester stable ou peu regresser, bref aucune certitude que tu vas retrouver un nombre de gain égal au nombre de perte et le dépasser.
Si tu es un dieu, ou au moins un immortel et que tu joues à l'infini, alors oui si tu continues de jouer il y aura bien un jour(? c'est quoi pour les immortels) où tu vas repasser en gain positif.Faudra ètre assez sage pour arréter là.C'est pas parce que tu es immortel qu'il faut jouer à des trucs comme ça indéfiniment.
La différence entre nombre de gains et nombre de pertes augmente quand n augmente.

[CLeBeR]

Bonjour,
je te remercie pour ta réponse, je sais désormais calculer les chances de gagner au moins une fois.
Pour 1 lancé : 1 - chances de gagner.
Pour 2 lancés : 1 - chances de gagner.
Pour 3 lancés : 1 - chances de gagner.
Pour 4 lancés : 1 - chances de gagner.
Pour lancés : 1 - chances de gagner.

Maintenant, je voudrais arriver à calculer les chances de gagner au moins fois ou plus. Si par exemple je pari sur face. J'arrive à calculer les probabilités qui m’intéressent pour deux tirages uniquement.

Chances de gagner 2 fois :
Chances de gagner 1 fois :
Chances de gagner 0 fois :
Comment calculer tout cela de manière générique pour 3 tirages, 4 tirages...
Merci de ton aide !

[beagle]

euh 1/2 ou plus?
loi binomiale te donnera exactement 1/2
et 1- exactement 1/2 se divise en gain ou échec = faut prendre la moitié de cela donc
et addition alors des deux.
Je reviens si tu ne connais pas loi binomiale.

[aviateur]

Bonjour
Je n'ai pas tout lu. Mais sans faire de calcul scientifique (pour une fois) la probabilité pour qu'il existe un nombre n tel que le nombre de pile (i.e de gagner) soit plus grand que le nombre de face (i.e de perdre) est 1.

Dans ce sens la phrase "plus tu joues plus tu gagnes" est bien vraie.

Maintenant d'un point de vue pratique c'est une toute autre histoire. D'abord il faudrait voir la mise, c'est indissociable du jeu.
Si tu mises 100E à chaque fois, que tu la perds (la mise) si le face sort et que tu gagnes 100E si le pile sort alors "plus tu joues et plus tu gagnes".

Mais alors il faut savoir alimenter la mise. Ensuite il faut savoir s'arrêter.
Le mieux est de s'arrêter dès tu as gagné 100E.

Maintenant il faut faire des calculs (à mon avis ce n'est pas compliqué).
Quel est le nombre de moyen de parties qu'il faut jouer pour obtenir 100E? Quel nombre de parties faut-il jouer pour être sûr de gagner 100E à 99,99% avant la fin de la nuit (sinon on perd beaucoup).

Et puis si toutes ces réflexions nous disaient que c'est un jeu intéressant (du point de vue de nos finances)
alors il resterait à trouver l'adresse du casino qui propose ce jeu!

[beagle]

Je n'ai pas tout compris. Si face est +1 et pile est -1, il y aura des séries où tu seras dans le négatif et pour certaines tu n'auras jamais connu le positif, et des séries où tu seras dans le positif. Pour les séries dans le négatif, en jouant à l'infini tu pourras repasser en territoire positif.Mais faut cette option.
Ce qui est certains c'est qu'en augmentant n, tu as toutes les chances de t'éloigner du zéro, mais autant dans le positif que dans le négatif.
Peut-être que ceci ne correspond pas au jeu avec mise.Je n'y connais que couic en théorie des jeux.

[beagle]

Pour en revenir à ton calcul:
tu calcules plus de face
autant de face que de pile
plus de pile

le autant de face que de pile est élevé quand n faible
pour n =2 tu as 2/4
pour n=4 on a baissé à 6/16
ce poste le autant de face que de pile ne permet pas de dire j'ai plus que.

donc cette proba enlevée à 1: 16/16 - 6/16 = 10/16
pour n= 4 tu as 10/16 soit plus de face soit plus de pile
donc 5/16 plus de l'un
et pour ton calcul: 6/16 + 5/16

comme le poste autant de pile que de face va diminuer, les deux postes plus de pile ou plus de face va tendre vers 1/2.
Quand n va augmenter alors F/P va tendre vers 1, alors que F-P lui a tendance à ne faire qu'augmenter.

[aviateur]

Bonjour
@beagle Je pense que la première partie de ton avant dernier message s'adresse à moi.
Pour éviter des calculs j'ai simulé le jeu 100 fois . Voici ce que l'on obtient :
1, 1, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 59, 13, 1,
1, 945, 1, 17, 1, 57, 27, 11, 3,
1, 1, 1, 9, 7, 17, 3, 1, 13, 1, 9, 3, 97, 1,
3, 1, 1, 1, 1, 5, 2185, 9, 1, 581, 1, 3, 1, 11, 3,
649, 217, 9, 3, 245, 1, 3, 1, 3, 15, 357, 1, 1, 45,
1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 7, 67, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 1, 1, 5, 3,
465, 5, 1, 27, 63, 1, 23, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 3, 1, 1, 1, 1
et en moyenne on a joué 63.8.
On voit que l'on finit toujours par gagner mais il faut être parfois patient. Comme on le voit sur cette série
il a fallu jouer 2185 fois pour ne pas perdre.

[aviateur]

Voici une autre série de moyenne 32.86.
1, 1, 159, 1, 3, 1, 3, 171, 103, 1, 1, 11, 1, 97, 15, 1, 1, 3, 1, 1, \
1, 1, 167, 15, 3, 1005, 3, 1, 15, 1, 21, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 5, 1, 1, \
7, 1, 25, 1, 21, 1, 1, 1, 1, 53, 29, 1, 1, 1, 7, 1, 381, 35, 1, 1, 1, \
3, 1, 1, 73, 37, 1, 1, 1, 1, 11, 17, 7, 33, 51, 1, 1, 3, 39, 1, 1, 7, \
7, 13, 1, 7, 9, 15, 469, 5, 13, 3, 3, 17, 1, 19, 5, 9, 1, 1

[aviateur]

J'en ai encore une autre mais trop longue , j'ai joué 10 000 fois (La moyenne est de 4650.74.)
Dans une partie j'ai dû jouer 1941347 fois pour m'en sortir
Mais on finit toujours par gagner. Encore faut-il savoir les règles du jeu et du temps dont on dispose.

[beagle]

OK, merci aviateur, je croyais que c'était plus souvent difficile.
mes simulations c'était sur des courbes de gain sur le web, du temps où je m'interessais à l'analyse technique des cours de bourse.Cela remonte!Et en p =1/2 ,+1 et -1 sur 1000 courbes cela partait bien dans tous les sens, enfin cela doit ètre gaussien puisque binomial.Et lesquelles étaient repassées par le zéro, on ne voyait pas dans le magma des courbes.Bien, bien.
Après je vais ètre mauvais joueur et dire que ton random de loi uniforme sur l'ordinateur exagère l'uniforme!!!!!

[CLeBeR]

Merci à tous pour vos réponses ! Pour résumer tout ça, il faut utiliser la loi Binomiale car il ne peut y avoir que deux issues dans cette expérience. Si je pars du principe que je veux avoir un gain nul (autant de nombre de pile que de face). J'utilise les paramètres suivants :
Nombre d'épreuves : n = 2
Probabilité de succès : p = 0.5
Nombre de succès : k = 1
nombre de succès : kmin <= k <= kmax = 0 et 1
J'utilise le calculateur en ligne suivant pour gagner tu temps : http://fsincere.free.fr/loi_binomiale/loi_binomiale.htm

J'obtiens les résultats suivants :

Loi binomiale B(n ; p)
n = 2
p = 0.5
k = 1
kmin = 0
kmax = 1
P(X >= 1) = 0.75


Loi binomiale B(n ; p)
n = 4
p = 0.5
k = 2
kmin = 0
kmax = 1
P(X >= 2) = 0.6875



Loi binomiale B(n ; p)
n = 6
p = 0.5
k = 3
kmin = 0
kmax = 1
P(X >= 3) = 0.65625


Loi binomiale B(n ; p)
n = 12
p = 0.5
k = 6
kmin = 0
kmax = 1
P(X >= 6) = 0.61279

Loi binomiale B(n ; p)
n = 250
p = 0.5
k = 125
kmin = 0
kmax = 1
P(X >= 125) = 0.5252

Pour conclure, on voit donc que les chances d'avoir au minimum un gain nul n'augmentent pas au fur et à mesure que l'on joue, elle tendent vers 0.5. Est-ce que mon raisonnement est juste ?
Merci.

[aviateur]

Bonjour
Je ne suis pas trop d'accord avec ce que tu dis. Je ne dis pas que ce que tu écris est incorrect mais il n'éclaircit pas du tout le problème.
En effet, et avant tout, le problème (plus précisément le jeu) n'est pas clairement défini.
Joue-t-on un nombre de fois illimité, ou un nombre de fois qui va suivre une certaine règle
(par exemple dans la simulation que j'ai faite, pour ne pas faire le calcul le jeu s'arrête dès que le nombre de gain dépasse de 1 le nombre de perte).
En fait j'ai fait ce choix pour répondre à la question "plus on joue plus on gagne").
Ton calcul de probabilité est un calcul qui suppose que l'on joue un nombre de fois n est fixé (et pair).
Bien entendu là il s'agit de la loi binomiale mais il n'est pas nécessaire de faire un calcul car
c'est évident que dans ce cas P(X>n/2)=P(X<n/2). Donc simplement le calcul que tu fais c'est tout simplement
P(X>=n/2)=1/2- P(X=n/2) est c'est tout. Ta remarque n'exprime que le fait que P(X=n/2) est de plus en plus petit en fonction de n mais ne répond pas à la question initiale.
Le problème est plutôt lié à: voir ce lien
https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_du_singe_savant#Et_en_math.C3.A9matiques_.3F

l

[CLeBeR]

Bonjour,
je reformule le problème car je pense que je n'arrive pas à l'exprimer correctement. Je veux savoir si en jouant plusieurs fois, j'augmente mes chances de tendre vers plus de victoires (le pile ou le face désiré) que de défaite. Quand je dis jouer plusieurs fois ce n'est pas une infinité mais une dizaine, centaine ou plus...
Si je reprends mon calcul, je vois que pour lancé(s), j'ai une probabilité d'environ 0.5 d'avoir au minimum victoires. J'en conclu donc que jouer fois n'influera le nombre de victoires. Je ne comprends pas en quoi mon raisonnement n'est pas bon.

[aviateur]

Bonjour
Dans ce genre de question la difficulté est de se comprendre. Je ne dis pas que ton raisonnement n'est pas bon et comme tu le dis c'est que tu n'arrives pas à l'exprimer correctement. Maintenant comme tu présentes les choses, c'est clair que si tu joues 100 où 10000 fois cela ne change rien. Et là ton raisonnement est correct. Mais de ce point de vue c'est intuitivement évident car vu l'indépendance et l'équiprobabilité à chaque coup. Autrement dit on à une succession finie de n épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètres p=1/2. Et on a bien le nombre de succès (et de façon symétrique le nombre d'échecs puisque p=1/2) qui suit une loi binomiale de paramètres n et p (B(n,p)). Mais inutile de faire des calculs à cause de la symétrie.
Mais vu la question sous sa forme philosophique: "plus on joue plus on gagne", on s'attend à voir les choses autrement et le problème et plus compliqué et plus intéressant.
En particulier si on joue un assez grand nombre de fois est ce que je peux gagner? Encore faut-il préciser ce que l'on entend par là. Est ce que l'on est sûr que le nombre de gain va dépasser le nombre de perte?
La réponse est oui. Parfois on gagne du premier coup ou bien au deuxième,... Mais surtout à un moment (peut être très long) on est sûr de gagner. C'est de cette façon que j'avais vu la question
Sur les simulations que j'ai donnée on voit bien que l'on finit toujours par gagner.
A partir de ce moment on peut se fixer une règle ou une stratégie. On joue jusqu'à ce l'on gagne avant le 5ème coup mais au 5ème coup si on n'a pas encore gagné, on laisse tomber mais on perd toute la mise.
C'est assez concret et on peut revenir jouer tous les soirs au casino. C'est calculable et si on ne sait pas le faire
on peut simuler cela avec un ordi. Je ne donne pas la réponse puisque je ne l'ai pas fait, mais j'ai mon intuition sur la réponse.

[beagle]

Quelques remarques.On ne peut répondre clairement que si la demande est claire.
Que signifie dans un pile ou face victoire ou défaite, gagner perdre.

On a vu que la proportion des AUTANT est forte pour n petit, et va diminuer n grand.
Si on ajoute aux plus de face que pile les AUTANT, on dépasse largement les 1/2 en n faible.
Plus n va croitre, plus les autant vont proportionnellement diminuer, et alors les PLUS de face vont vers 1/2.
Quelque part en diminuant les autant on augmente les gagnants et les perdants.
Mais fort heureusement ni les + deF ni les + de P ne dépassent les 1/2 tous les deux!

Si on considère que les retour à zéro , les AUTANT sont fréquents pour n faible, on comprend la réponse de aviateur.Qui lui est sur une ligne de jeu.De gagner en jouant.

Ce que j'ai essayeé de répondre, et ce n'était peutètre pas la question, c'est justement de dire que le autant pour les probas du pile ou face ne s'analyse pas comme l'usage le plus courant, donc le plus intuitif en F-P = 0, en probabilité le on va vers autant de F que de P s'analyse en proportion. en F/P tend vers 1.
Parce que un des premiers reflexes logiques en analysant les résultats F et P est de se dire puisque l'on va vers du autant, si je joue les retards, alors l'égalisation du autant doit me dire jouer le F ou le P en retard (qui va s'égaliser).C'est assez logique de prime abord.Heureusement on évite déjà cet écueil avec l'indépendance.Comment fait-on pour rattraper un retard alors que tout est indépendant que le futur se fiche royalement du passé.C'est bien là qu'il faut repasser au retard se comble en terme de F/P qui tend vers 1.
D'où mes réponses pour dire le F-P ne tend pas zéro.Plus n augmente plus la,dispersion est grande moins on a de chance de se retrouver au zéro initial.

Et encore plus.Admettons que l'on analyse le retour au zéro non pas depuis le début (puisqu'alors très fréquent, mais à partir du 20 ou du 50 ou du 100.Ben là je persiste (dans l'erreur?) il me semble que c'est difficile de repasser au zéro intial pour les courbes déjà extrêmes.Difficile n'est pas impossible, et ce que dieu a fait, les probas de sens inverses peuvent le refaire.
Mais admettons après 100 tirages une courbe bien décalée.Et bien j'attends de tous les possibles à venir qu'ils se centrent sur ce nouveau zéro, j'aurai à venir des courbes au-dessus, des courbes en dessous de ce nouveau zéro.Et donc des difficultés pour certaines à revenir au premier zéro.
Car si loi binomiale et Gauss sont des concentrateurs à la moyenne, ils concentrent à la moyenne au zéro initial, puis ils concentrent à la moyenne au nouveau zéro.Bref le niveau zéro n'existe pas.
On s'en sort avec les tirages infinis, puisque l'on peut alors tout balayer.

Ceci n'était pas la question, mais c'est ma réponse.