Problème dérivée d'un déterminant

[fabio123]

bonjour,

j'ai un petit problème pour démontrer l'expression de la dérivée d'un déterminant, la seule démo que j'ai trouvé se trouve ici :

http://www.sciences.ch/htmlfr/algebre/algebrelineaire01.php#derdet

le soucis se situe dans l'équation (13.134), voici ce qui est marqué :

(eq.1)

où est le cofacteur de la place (i,j).

Pourquoi l'expression de n'est pas égale plutôt à (au lieu de )car l'eq.1 donne l'expression de l'élément (j,i) de la matrice , soit ?

Merci d'avance pour votre aide.

[Lemniscate]

Salut,

Je connais une méthode pour trouver la différentielle du déterminant...

D'abord montre que la différentielle du det en l'identité est la fonction
Ddet(I)(M)=tr(M) (grâce aux dérivées partielles en base M(i,j) (base canonique de Mn(R)) mais attention, en faisant intervenir une limite quand h tend vers 0)

Après tu considère une matrice inversible X et tu calcules
Ddet(X)(M) toujours grâce aux dérivées partielles et au fait que
det(X+hM(i,j))=det(X(I+h.X^(-1).M(i,j))) et que (ca te donne X^(-1) )

Enfin tu utilises la densité de GLn(R) dans Mn(R).

PS : Désolé mais je ne comprends pas trop la méthode proposée en Physique avec produit tensoriel et tout ... C'est vrai que si tu n'as pas les outils nécessaires en Maths, ma méthode est inapplicable ...

[fabio123]

L'équation n°1 qui donne est vrai si et seulement si le tenseur fondamental de la métrique est symétrique, peut-il y'avoir des tenseurs fondamentaux de métrique non symétriques (que l'on peut rencontrer en relativité générale par exemple) ? , auquel cas j'ai toujours le même problème, à savoir pourquoi et non .

Merci d'avance.

[ThSQ]

Cherche différentielle du déterminant avec google.