Optimisation avec contrainte d'inégalité

[selda6958]

bonsoir,
je voudrais avoir de l'aide pour mon exercice car je n'arrive pas à justifier qu'il y a un max et min global en paramétrant le problème voila mon exercice

merci beaucoup

Exercice (paramétrisation) :
On considère le problème d’optimisation suivant :


1°) Justifier le fait que (P) admet un minimum global et un maximum global.

2°) Résoudre pour tout k∈ [0;1] le problème suivant : (le problème s'appelle Pk)



3°) En déduire les solutions globales de (P).

[fatal_error]

hello

un raisonnement qui jprésume ne suit pas trop l'énoncé:
on pose x=rcos(u), y=rsin(u), r >=0 et u dans [0;2pi[
la contrainte devient r^2 <= 1
et f(x,y)=r^3(cos^3(u)-sin^3(u))
on étudie
g(u) = cos^3(u)-sin^3(u)
en particulier g'(u) = 3cos(u)sin(u)(-sin(u)-cos(u))
et par ident trigo:
sin(u)+cos(u) = sin(u)*1+cos(u)*1 = sin(u+pi/4)*2/sqrt(2)
et on cherche u tq g'(u)=0
idem
sin(2u)sin(u+pi/4)
on a comme candidats: u dans {0, pi/2, pi, 3pi/2} U {3pi/4, 7pi/4}
les valeurs de g associées nous donnent les extremums respectifs (moyennant r omis)
1, -1, -1, 1, 0, 0

le min global est donc -1 pour r==1 et u == pi/2 ou pi
le max global est 1 pour r==1 et u==0 ou 3pi/2

et transposant pour x,y, par exemple
min global: (x,y)=(0,1) ou (x,y) = (-1,0)
max global (x,y)=(1,0) ou (x,y) = (0,-1)

[selda6958]

Et on ne peut pas faire ce raisonnement sans des sin et cos ?

[ArtyB]

C'est une histoire de dérivée, regarde les conditions d'existence d'extremum globaux d'une fonction selon ses dérivées et dans le cas où ils existent comment les caractériser.
(regarde notamment tout ce qui est dérivées premières et gradient, dérivées secondes et hessiennes).

[selda6958]

Je vais essayer

[selda6958]

Bonjour

J'ai commencer à faire les dérives etc de résoudre le système avec le lagrangien mais je bloque pour trouver les points candidats si quelqu'un peut m'aider svp ?

Merci