je cherche a résoudre un exercice et j'ai un peu de mal !
On considère une série entière
J'ai montré que
On note ensuite
En fait si j'arrivais a montrer que
Un lemme d'analyse complexe
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Un lemme d'analyse complexe
par Mikihisa » 17 Aoû 2015, 20:27
Bonjour,
je cherche a résoudre un exercice et j'ai un peu de mal !
On considère une série entière = \sum c_n z^n)
de rayon de cv infini.
J'ai montré que)e^{-in\theta}d\theta)
.
On note ensuite = sup_{|z|\leq r} Re f(z))
et on suppose f(0)=0 je doit montrer que
}{r^n})
et je ne sais pas comment m'y prendre...
En fait si j'arrivais a montrer que)| \leq sup_{|z|\leq r} Re f(z))
ca me permettrais de conclure mais je ne vois pas comment m'y prendre, d'autant que ca semble complétement faux en général....
je cherche a résoudre un exercice et j'ai un peu de mal !
On considère une série entière
J'ai montré que
On note ensuite
En fait si j'arrivais a montrer que
par Doraki » 18 Aoû 2015, 11:02
Ta formule est étrange puisqu'elle implique que c0 est réel.
Sinon ils ont peut-être oublié la valeur absolue dans Af(r)
Comme ça c'est faux il suffit de regarder f(z)-a pour un grand réel a pour avoir une contradiction
Sinon ils ont peut-être oublié la valeur absolue dans Af(r)
Comme ça c'est faux il suffit de regarder f(z)-a pour un grand réel a pour avoir une contradiction
par Mikihisa » 18 Aoû 2015, 12:52
>
Aujourd'hui, 10h44
Robot
Membre Relatif
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Messages: 45
D'où sors-tu cette formule intégrale pour le coefficient ?
D'où sort en particulier la partie réelle ?
Bah la formule se montre facilement avec f(z) a la place de Re f(z) (et un facteur 1/2)
Ensuite pour obtenir la formule avec la
Partie réelle il faut trifouiller un peu.
En faisant la différence des deux on obtient la formule avec le conjugué de f(z) ce qui vaut 0 (suffit de l'écrire pour le voir, en forme polaire)
Aujourd'hui, 10h44
Robot
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D'où sors-tu cette formule intégrale pour le coefficient ?
D'où sort en particulier la partie réelle ?
Bah la formule se montre facilement avec f(z) a la place de Re f(z) (et un facteur 1/2)
Ensuite pour obtenir la formule avec la
Partie réelle il faut trifouiller un peu.
En faisant la différence des deux on obtient la formule avec le conjugué de f(z) ce qui vaut 0 (suffit de l'écrire pour le voir, en forme polaire)
par Mikihisa » 18 Aoû 2015, 12:58
La formule integrale n'est vrai que pour n>1
Non ils n'ont pas oublier les va c'est la même formule sur wiki (lemme de la partie réelle)
Non ils n'ont pas oublier les va c'est la même formule sur wiki (lemme de la partie réelle)
par Mikihisa » 18 Aoû 2015, 13:15
On note f(z) = U(z) + iV(z)
e^{-in\theta}d\theta - \frac{1}{2\pi r^n} \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta)
 - U(re^{i\theta}) -iV(re^{i\theta}))e^{-in\theta}d\theta = \frac{1}{2\pi r^n} \int_0^{2\pi} \overline{f(re^{i\theta})}e^{-in\theta}d\theta)
Et finalement en remplaçant f(z)* par
Et en inversant les symbole somme et integrale, et comme n>1, k+n>1 et l'intégrale vaut bien 0.
Et finalement en remplaçant f(z)* par
Et en inversant les symbole somme et integrale, et comme n>1, k+n>1 et l'intégrale vaut bien 0.
par Mikihisa » 18 Aoû 2015, 20:01
J'ai réussi, suffisait de multiplier l'égalité par un complexe de module 1 adéquat (exp(in*arg(cn)/n))
Pour virer les valeurs absolue
Pour virer les valeurs absolue
par Mikihisa » 19 Aoû 2015, 13:54
Ah bah en fait c'est un sacre tour de passe-passe
On écrit
On va alors multiplier l'égalité par
de sorte que
Alors, en remplaçant par l'expression integrale on va pouvoir enlever les valeurs absolue (c'est alors un réel positif).
Ensuite, on va même pouvoir ne garder que la partie réelle et obtenir quelque chose genre
cos(n(\theta + \theta_n))d\theta)
Et c'est la qu'on utilise f(0) = 0. En effet car alors,d\theta = c_0 = 0)
et (re^{i\theta})d\tetha = 0)
On ajoute donc 0 a notre expression le cos se transforme en 1+cos qui est alors positif.
On peut alors majorer le Re(f) par son sup, il reste l'intégrale ce 1+cos qui vaudra 2pi et on obtient le résultat.
On écrit
On va alors multiplier l'égalité par
Alors, en remplaçant par l'expression integrale on va pouvoir enlever les valeurs absolue (c'est alors un réel positif).
Ensuite, on va même pouvoir ne garder que la partie réelle et obtenir quelque chose genre
Et c'est la qu'on utilise f(0) = 0. En effet car alors,
On ajoute donc 0 a notre expression le cos se transforme en 1+cos qui est alors positif.
On peut alors majorer le Re(f) par son sup, il reste l'intégrale ce 1+cos qui vaudra 2pi et on obtient le résultat.
par Robot » 19 Aoû 2015, 18:50
OK, joli !
Je suppose qu'après on en déduit
| \leq \dfrac{2r}{R-r}\, A_f(R))
Ca me paraît plus tordu que la façon habituelle d'arriver à cette majoration, qu'on peut lire ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80%93Carath%C3%A9odory_theorem
Je suppose qu'après on en déduit
Ca me paraît plus tordu que la façon habituelle d'arriver à cette majoration, qu'on peut lire ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80%93Carath%C3%A9odory_theorem
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