Equation différentielle compliquée

[kelthuzad]

Bonjour,

Suite à un problème de physique sur des mouvements de gravité, je tombe sur une éq diff assez compliquée, quelqu'un pourrait m'aider je suis complétement bloqué ? Je ne sais même pas comment l'attaquer. Merci !!

La fonction est r, la variable est t et le reste (G,M et d) sont des constantes.

[Robot]

Et tu es sûr du chemin qui amène à cette équation ?

[lionel52]

Ton équation a pas l'air très homogène
d c'est une distance? dr² ne peut pas être une accélération du coup?

[kelthuzad]

Merci de vos réponses, l'équation est bonne et d n'est pas une distance mais est en fait homogène à une (vitesse/distance) au carré, je l'ai écris comme ça pour simplifier la lecture, tout est bien homogène.

(il y avait un carré en trop je l'ai enlevé et vérifié, tout est homogène et d = v_initial² / r_initial²)

[aymanemaysae]

Bonjour;

Comme équation de mouvement, je trouve qu'elle est différente de toutes les équations de mouvement qu'on a vues en Math-spé (deuxième année des classes préparatoires) cette année .

Si c'est possible, je vous serai très reconnaissant, d'accompagner votre énoncé par une photo de l'original de l'exercice (le réécrire serait très fatigant) .

Merci.

[kelthuzad]

Bonjour,

Il n'y a pas d'exercice, je réfléchissais sur le mouvement d'un satellite en orbite et je tombe sur cette équa diff, je pense que (si je ne me suis pas trompé) tu peux la retrouver, j'ai utilisé les coordonnées polaires, le satellite se déplace à une vitesse initiale et "subit instantanément" à t=0 la force gravitationnelle d'une planète à proximité. L'accélération est suivant moins le vecteur unitaire -u_r et vaut +-GM/r² ce qui me donne une première equa diff car égal à l'expression de a_r dans les coordonnées polaires, par ailleurs a_teta vaut 0 et est égal à l'expression de a_teta en polaires. J'ai donc maintenant un système de 2 équa diff qui une fois substitué (il me reste que des r) donne l'expression du premier post.

[Robot]

Attends, il y a juste le satellite (assimilé à un point) et la planète (assimilée à un point, qu'on prend comme origine pour les coordonnées polaires) ?
Ca, c'est une histoire bien connue ...

[kelthuzad]

D'accord mais j'essaye de chercher sans pomper une solution entière sur internet.

[Pythales]

Connais-tu les formules de Binet ?

[Skullkid]

Bonsoir, ton équa diff est fausse, peux-tu détailler ton raisonnement histoire qu'on cherche l'erreur ?

[kelthuzad]

Je ne connais pas les formules de Binet mais je regarde ça, merci. Concernant l'équa diff j'ai mis "d" dans le premier post mais c'était pour alléger, c'est une constante et non une distance qui vaut d = v_initial² / r_initial², on retrouve bien l'homogénité, l'eq diff est-elle toujours fausse Skullkid ? Si oui je détaille ici
Merci bcp

[Skullkid]

Elle est homogène oui, mon souci c'est le terme exponentiel, je ne comprends pas d'où il peut sortir.

[kelthuzad]

Comme j'ai un système de 2 éq diff à 2 inconnues r et téta, j'en résous une pour faire la substitution et obtenir une éq diff à une inconnue (r). Je mets le détail demain

[kelthuzad]

Voila le détail : le vaisseau et la planète sont assimilés à des points O et V de masse m et M.
Le vecteur position est donc

A t = 0, theta=0 et le vaisseau à une v_initiale selon u_theta à une distance r_initial de la planète.
(Dans cet exercice de pensée le vaisseau subit la force gravitationnelle lorsque t > 0)



Je le dérive deux fois et obtiens :



La force gravitationnelle est selon et vaut GmM/r² ainsi on retrouve bien :



Ce qui me donne le système d'équa diff suivant :


(Le premier c'est r'')

Si je note théta point = omega, ça donne :


(Le premier c'est r'')

Sur la ligne 2 je résous en prenant omega comme inconnue :



Eq diff premier ordre, ça nous donne :


Maintenant je remplace la valeur d'omega dans la première ligne et ça nous donne l'eq diff de mon tout premier post :



Et là je suis bloqué, merci de votre lecture !

[Black Jack]

Sans tout lire :

w' = -2.r'/r * w

n'a pas pour solution w(t) = wo.e^((-2r'/r).t)
*****
Une équation différentielle comme y'(t) = - k.y(t) avec k INDEPENDANT de la variable t, a pour solutions y(t) = C.e^(-k.t)

Mais dans le cas présent, le "k" est (-2r'/r) qui est fonction de t ... et donc pas INDEPENDANT de la variable t. Les solutions ne sont donc pas celles écrites.

Sans avoir cherché d'autres éventuelles erreurs.

[kelthuzad]

Ah mince effectivement merci. Ce système d'eq diff est encore trop dur à résoudre pour moi.

[Robot]

Il te reste la possibilité d'étudier et de comprendre une solution classique de ce problème, ce que je t'encourage à faire.

[aymanemaysae]

Bonjour;

votre travail est impeccable, et pour le parfaire je suggère d'éliminer ces lignes de votre démonstration:

Sur la ligne 2 je résous en prenant omega comme inconnue :

Eq diff premier ordre, ça nous donne :

Maintenant je remplace la valeur d'omega dans la première ligne et ça nous donne l'eq diff de mon tout premier post :



et ne laisser que ces lignes:

Le vaisseau et la planète sont assimilés à des points O et V de masse m et M.
Le vecteur position est donc

A t = 0, theta=0 et le vaisseau à une v_initiale selon u_theta à une distance r_initial de la planète.
(Dans cet exercice de pensée le vaisseau subit la force gravitationnelle lorsque t > 0)



Je le dérive deux fois et obtiens :



La force gravitationnelle est selon et vaut GmM/r² ainsi on retrouve bien :



Ce qui me donne le système d'équa diff suivant :




Cette paire d’équations suffit pour décrire le mouvement de n’importe quel mouvement
de chute libre, quelque soit la variation d’altitude. Malheureusement, c’est un système d’équations
trop complexe pour pouvoir être utilisé seul de façon utile.

Je vous invite à lire ce document, surtout les pages 7 et 8 .

Bon courage.

[Robot]

Malheureusement, c’est un système d’équations trop complexe pour pouvoir être utilisé seul de façon utile.

Pas du tout.

Pour ce qui est de la deuxième équation , elle se résoud facilement avec le facteur intégrant , qui donne et donc , autrement dit la vitesse aréolaire est constante.

[kelthuzad]

Ah cool Robot, du coup si je n'ai pas fait d'erreur ça donne :