Petite équation pas compliquée

[Jordan067]

Salut les matheux !

Voila j'ai juste un petit problème je n'arrive pas a résoudre cette équation :

5 + 2xL = 0
-2 + 2yL = 0
1 + 2zL = 0
x^2 + y^2 + z^2 - 30 = 0

Sachant que x,y,z et L sont des inconnues (il s'agit en fait de la résolution d'un lagrangien pour trouver les points stationnaires, où j'ai nommé x1, x2 et x3 par x,y et z puis le lambda de la contrainte d'égalité que j'ai nommé ici L)

J'ai finis par trouver (-5;2;-1) en passant par la recherche du L (lambda) pour lequel j'ai trouvé 0,5. Mais je ne suis pas sur de ces résultats.

J'ai un peu de mal avec les grosses équations comme ca ... Alors si vous avez des conseils je suis prenneur.

Merci beaucoup pour votre réponse !

[mathelot]

(1),(2),(3)

permet de calculer L(x+y+z)

la (4) permet de calculer (x+y+z) fct de yx+yz+zk et fonction de L

p-e, replacer partour L de manière à
voir s'ilexiste des solutions ou non


pour résumer:
la (4) donne un domaine sans L que tu peux écrire,étudier,etc..

unne fois le domaine L décrit , les solutions en xy,z ddoivent être extremaux à L.

[Jordan067]

Oui c'est ce que j'ai fais justement (enfin, il me semble que c'est ce que j'ai fais)
Mais je suis pas sur de mes résultats ... Quelqu'un pourrait les confirmer ?


Si ce résultat est exact, je me retrouve bloqué un peu plus loin dans l'exercice. (Il s'agit d'un exercice ou l'on doit trouver les extremums de la fonction)
En effet j'ai donc trouver un seul point stationnaire. La contrainte n'est pas affine donc j'applique le théorème de weierstrass. Mais comment savoir si ce point stationnaire est un minimum ou un maximum puisque j'en ai trouvé qu'un seul ?
Sachant qu'en faisant F(-5;2;-1) je trouve -13.

Et cela m'amène a une autre interrogation, quand on a des contraintes d'inégalité, si les conditions de Kuhn et Tucker sont nécessaires et suffisantes, comment je sais si les résultats trouvés sont des minimum ou des maximum ?

Merci d'avance,

[mathelot]

dérivée seconde, au moins dans les directions désirées

[Jordan067]

Oui sauf que quand je fais les dérivées secondes j'obtiens 0 a chaque fois étant donné que ma fonction est :
F(x1,x2,x3)=5x1 - 2x2 + x3 + 17
(Sachant que le 1, 2 et 3 des x1 x2 et x3 sont des indices pour différencier les trois x)

Alors comment savoir s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum ?

Merci

[chan79]

J'ai fini par trouver (-5;2;-1) en passant par la recherche du L (lambda) pour lequel j'ai trouvé 0,5. Mais je ne suis pas sur de ces résultats.

(x,y,z,L)=(5,-2,1,-1/2) semble convenir aussi

Tu devrais mettre le texte en entier, si possible :zen:

[mathelot]

Salut les matheux !

Voila j'ai juste un petit problème je n'arrive pas a résoudre cette équation :

5 + 2xL = 0
-2 + 2yL = 0
1 + 2zL = 0
x^2 + y^2 + z^2 - 30 = 0

Sachant que x,y,z et L sont des inconnues (il s'agit en fait de la résolution d'un lagrangien pour trouver les points stationnaires, où j'ai nommé x1, x2 et x3 par x,y et z puis le lambda de la contrainte d'égalité que j'ai nommé ici L)

J'ai finis par trouver (-5;2;-1) en passant par la recherche du L (lambda) pour lequel j'ai trouvé 0,5. Mais je ne suis pas sur de ces résultats.

J'ai un peu de mal avec les grosses équations comme ca ... Alors si vous avez des conseils je suis prenneur.

Merci beaucoup pour votre réponse !

en dimension 3 , tu as une sphrere
de rayon cenrée à l'origne
q'u on passse en coordonnées porjectives

trois plans d'équation paramétrique L
x=-5/2L;y=L,z=(-1/2)L
en projectif
x/L=-5/2;y/L=1, z/-1/2L)

je trouve L=+2 ou L=-2.

ça peut donner un ou deux polyèdres convexes (intersection de plan)
situés dans la boule de rayon

[paquito]

on obtient aussi x=-10, y=4 et z==-2 comme solution avec L=1/4.

[chan79]

on obtient aussi x=-10, y=4 et z==-2 comme solution avec L=1/4.

salut
x²+y²+z² doit être égal à 30

[Black Jack]

5 + 2xL = 0
-2 + 2yL = 0
1 + 2zL = 0

(5 + 2xL) + 3*(-2 + 2yL) + (1 + 2ZL) = 0
2XL + 6YL + 2ZL = 0
XL + 3YL + ZL = 0

x = -5/(2L)
y = 1/L
z = -1/(2L)

25/(4L²) + 1/L² + 1/(4L²) - 30 = 0
30/(4L²) - 30 = 0
4L² = 1
L = +/- 1/2

a)
Si L = -1/2 :
x = 5
y = -2
z = 1

b)
Si L = 1/2 :
x = -5
y = 2
z = -1

:zen:

[paquito]

salut
x²+y²+z² doit être égal à 30

effectivement; j''ai pas fait gaffe!

[Jordan067]

Merci pour ces réponses ! J'ai donc pu résoudre l'équation

Mais quelqu'un sait-il comment savoir s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum ? Quelle est la méthode utilisée pour savoir cela ? Je sais que normalement on doit faire la hessienne, mais encore une fois la hessienne est ici indéfinie.

Merci d'avance

[Jordan067]

Desole pour le double post, mais en fait je crois que je viens de comprendre. Comme il y a deux points stationnaires qui sont (-5;2;-1) et (5;-2;1) et que le théorème de weierstrass est vérifié, nous avons donc un maximum ET un minimum. C'est bien cela ?

Mais comment savoir lequel des deux est le maximum et lequel est le minimum ? Il suffit de remplacer dans f(x1,x2,x3) puis le résultat le plus grand sera le maximum, ou alors c'est plus compliqué que cela ?

Merci encore, je commence a comprendre grace a vous.