Aide exercice sur les suites

[kylliand]

Bonjour,
J'aurais besoin de votre aide pour effectuer cet exercice s'il vous plaît, cela fait déjà plusieurs heures que je suis sur ce sujet, et je suis forcé de constater que je n'y arrive pas. Merci de votre aide, j'en ai besoin !

Voici le sujet :

La suite (Un) n≥0 est definie par U(0) = 1 et :
∀n ∈ N*, Un = U(n/2) + U(n/3) + U(n/6).

a) Montrer :
∀n ∈ N, Un ≥ n + 1.

b) Trouver C > 0 tel que :
∀n ∈ N, Un ≤ C(n + 1).

Cet exercice est extrait d'un ensemble d'exercice du lycée Louis Le Grand donné en transition de la Terminale à la CPGE. Je vous remercie par avance de votre aide ^^

[Robot]

La suite (Un) n≥0 est definie par U(0) = 1 et :
∀n ∈ N*, Un = U(n/2) + U(n/3) + U(n/6).

Ca n'a pas de sens : n/6 n'est entier que si n est divisible par 6. Vérifie ton énoncé et écris l'énoncé correct.

[kylliand]

je vais vous prendre une photo de l'énoncé, mais je l'ai écris correctement je pense, ou j'ai peut-être mal compris l'énoncé, ce qui est possible, je m'en excuse si c'est le cas !

[Robot]

Bon, apparemment tu ne vois pas la différence entre et . Tu devrais peut-être envisager de passer chez ton ophtalmo ?
(Rappel : désigne la partie entière du nombre réel , c.-à-d. le plus grand entier relatif inférieur ou égal à .)

Première chose à faire : écrire les premiers termes de la suite pour se faire une idée de ce qui se passe. Il peut être utile, pour expliciter la fabrication de , d'écrire sous la forme avec .

[kylliand]

J'avais mal vu en effet, je pensais qu'il s'agissait de crochet fermés. Merci donc de l'explication mais je suis désolé, j'arrive à comprendre le fonctionnement de l'exercice mais je n'arrive pas à démontrer ni la question a, ni la question b, même si peut-être que la réponse de la question b est C=n+1, après je n'en suis pas sûr et je ne sais pas le prouver.
Pour la question a : j'ai donc essayer de suivre vos indications mais je ne sais tout de même pas comment faire :$

j'ai donc écris : "Un = U(3k + l/2) + U(2k + l/3) + U(k) avec l/2 qui peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2 ; l/3 qui peut prendre les valeurs 0 ou 1 ; et l/6 qui ne peut prendre que la valeur 0, puisque l est compris entre 0 et 5."

[zygomatique]

salut

ce qui ne fait que 6 cas à étudier ...

[kylliand]

Salut,

Oui mais même en faisant une disjonction des cas, je n'arrive pas à voir comment on peut montrer la propriété.

[aymanemaysae]

Bonsoir,

vous avez avec et , donc :

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

et , , ,

vous pouvez continuer maintenant.

[Robot]

Peux-tu calculer U(6) ?

[aymanemaysae]

Bonjour,

On a:

,

et :

,

,

,

,

,

et .

Pour montrer que : , procédons par la méthode de la récurrence forte.

On a , et soit ,

supposons que : , donc :

,

,

,

,

,

et ,

donc .

[Robot]

C'est bien pénible ! Ca se fait en deux lignes en remarquant que est un entier strictement plus grand que .

[aymanemaysae]

Bonjour,

Merci bien et plus.

[aymanemaysae]

Bonsoir,

pour la question n° 2 on veut démontrer qu'il existe tel que .

Conjecturons que , et démontrons que cette conjecture est vraie.

On a .

On a aussi que :

,
,
,
,
,
u (ne dépend pas directement de ) .

Supposons que , ,

donc ,

donc ,

et comme pour on a , donc , donc ,
et comme on a , donc ,

donc C peut prendre 3 comme valeur.

On remarque que ce n'est pas la seule valeur que peut prendre C. En réalité, il y en a une infinité, et le vrai problème est de trouver la valeur minimale de C: ce problème dépasse mes capacités.

Edit: j'aimerais remercier ici M. Nicolas Tosel qui m'a beaucoup aidé en m'indiquant le chemin a suivre, ainsi que le titre du livre qui contient le corrigé de cet exercice : Calculus (Mathématiques - Du LYCEE AU SUPERIEUR - Consolider et approfondir).

[Pseuda]

Valeur minimale de C = 2,5 (telle que C * n), atteinte pour n=6 ?