Suites et récurrence

[Cerise-x]

Bonjour,
j'ai besoin d'aide pour un exercice que j'ai essayé de résoudre mais en vain...Voila l'enoncé :

Les parties A et B peuvent être traitées indépendemment, mais certains résultats de la Partie A pourront être utilisés dans la partie B.

PARTIE A
On définit :
- la suite (Un) par : U0= 13 et pour tout entier naturel n, Un+1= 1/5 Un + 4/5

- la suite (Tn) par : pour tout entier naturel n, Sn = [n k=0 uk] = U0 +U1 +U2 +...+ Un

1)a) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un= 1+ 12/5n (RESOLU)
b) Puis en déduire la limite de la suite (Un) (RESOLU) : quand n->+oolim(1+ 12/5^n)= 1

2)a) Déterminer le sens de variation de la suite (Tn)
b) Calculer (Tn) en fonction de n RESOLU : Tn= [(n+1)(U0+Un)] /2
c) Déterminer la limite de la suite (Tn)

PARTIE B
Etant donné une suite (xn), de nombres réels, définie pour tout entier naturel n, on considère la suite (Tn) définie par (Tn)= [n k=0 xk]. ->> Indiquer pour chaque proposition suivante (EN JUSTIFIANT) si elle est vraie ou fausse.
- Proposition 1: Si la suite (xn) est convergente alors la suite (Tn) l'est aussi.
- Proposition 2: les suites (xn) et (Tn) ont le même sens de variation.

Voilà. Je ne veux pas forcément avoir les réponses directement, mais des pistes ou débuts de calculs me suffisent. Merci d'avance pour votre aide. =)

[L.A.]

Bonjour.

Pour A2a), quelle est la méthode que l'on utilise en général pour le sens de variation d'une suite ?

Pour le reste, tu as peut-être une idée du résultat sans réussir à le démontrer ?

[Cerise-x]

Pour la A2)a) je sais qu'il y a plusieurs méthodes, on peut soit faire Tn+1 - Tn ou encore utiliser un raisonnement par récurrence, mais comment faire la soustraction quand on ne connait pas Tn+1 et Tn ?

[L.A.]

Etudier Tn+1 - Tn est la bonne méthode.
Quelle est la seule chose que l'on sait de (Tn) (avant la qu. A2b)) ?

Pour la partie B, le plus simple est de chercher d'abord des contre-exemples.
sinon, si tu penses que la prop. est vraie, cherche une démo.

[Cerise-x]

On sait que Tn = [n k=0 uk] = U0 +U1 +U2 +...+ Un donc Tn= U0 x [(1-q^n-1)/(1-q)]
Et Tn+1= q x Tn . q est la raison mais on ne la connait pas... :s

[L.A.]

Non, Un = 1 + 12/5^n n'est pas géométrique et la formule (1-q^n+1)/(1-q) ne s'applique pas.

As tu remarqué que Tn+1 = Tn + Un+1 ?

[Cerise-x]

Ah mais oui ! Mais on peut écrire cette égalité sans justifier ni détailler les calculs ? Ecrire comme ceci ? :

On étudie pour tout n de Nl le signe Tn+1 -Tn. Donc cela donne :
Tn+1 = Tn + Un+1 <=> Tn+1 - Tn = Un+1> 0 donc la suite Tn est croissante.

[L.A.]

Excellent.

La 2c) maintenant : as-tu une vague idée de la limite de (Tn) ?

[Cerise-x]

D'après la réponse de la question A)2)b) on sait que Tn= [(n+1)(Uo+Un)]/2 donc quand n tend vers +oo lim(Tn)= lim [(n+1)(Uo+Un)]/2 = .... je ne sais pas pour le résultat. je pense qu'il faut faire un calcul avant pour le connaître...

[L.A.]

Tu as déjà fait tous les calculs nécessaires...

sépare le calcul de la limite en deux "sous-limites" : quelle est la limite de chacun des facteurs (n+1) et (u0+un) ?

sinon il y a une autre méthode, qui n'utilise pas la question 2b...

[Cerise-x]

quand n tend vers +oo lim (n+1)= +oo
quand n tend vers +oo lim (U0+Un)= +oo
donc lim(Tn)= lim [(n+1)(Uo+Un)]/2 = +oo ?

[L.A.]

quand n tend vers +oo lim (U0+Un)= +oo ???

tu est allée un peu trop vite.

[Cerise-x]

quand n tend vers +oo lim (U0+Un)= 1 ? parce que lim(Un)=1...

[L.A.]

quand n tend vers +oo lim (U0+Un)= 1 ? parce que lim(Un)=1...

Et tu oublies le U0 qui vaut 13...
La prochaine sera la bonne !

[Cerise-x]

quand n tend vers +oo lim (U0+Un)= 14 ! :cry: j'espère que c'est bon cette fois :s ^^

[Cerise-x]

Ah ! j'ai oublié une partie de l'énoncé

PARTIE C (indépendante des deux autres parties et les 3 questions de cet exercice sont indépendantes)

1) On considère la suite (Un) définie par : Uo= 1 et pour tout nombre entier naturel n, Un+1= (1/3)Un +4.
On pose pour tout entier naturel n, Vn= Un-6.
a) Pour tout nombre entier naturel n, calculer Vn+1 en fonction de Vn. Quelle est la nature de la suite (Vn) ?
--> Pour cette question j'ai fait : Vn+1= (1/3)Vn +4 = (Vn+12)/3 C'est correct ? Je ne pense pas, parce que je ne vois aucun lien avec les propritétés d'une suite arithmétique ou géométrique...

b) Démontrer que pour tout nombre entier naturel n, Un= -5(1/3)^n +6
c) Etudier la convergence de la suite (Un) (Je n'ai pas encore étudié cette notion en cours...)

2) On considère la suite (Wn) dont les termes vérifient, pour tout nombre entier n supérieur ou égal à 1 : nWn= (n+1)Wn-1 +1
Le tableau suivant donne les 10 premiers termes de cette suite :
__________________________________________________
W0 W1 W2 W3 W4 W5 W6 W7 W8 W9
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
__________________________________________________

a) Détailler le calcul permettant d'obtenir W10.
b) Donner la nature de la suite (Wn) et calculer W2009.

3) Montrer que pour tout entier naturel n, [n somme k=0 1/[(2k +1)(2k +3)] ]= (n+1)/(2n+3)

[Cerise-x]

Non, c'est bon j'ai réussi la partie C =) J'aurai juste besoin d'aide pour la partie B et la question 3) de la partie C s'il vous plaît... =)

[L.A.]

Re bonjour.

C3)
Il s'agit de faire apparaître (de gré ou de force) des termes en 2k+1 et 2k+3 au num. qui pourront se simplifier avec ceux du dén. C'est une méthode classique pour calculer ce genre de truc.

Je te donne un autre exemple, et tu essaieras d'appliquer la méthode à ton cas.

(S désigne ici "somme de k=1 à n")

S[1/(k(k+1))] = S[(k+1-k)/(k(k+1))] (car k+1-k=1)
=S[(k+1)/(k(k+1)) - k/(k(k+1))]
=S[1/k - 1/(k+1)]
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/(n+1)) = 1-1/(n+1)
(somme "téléscopique" : les termes 1/2,1/3,...,1/n s'annulent)

A toi de jouer !

[L.A.]

Pour la partie B, la méthode est la suivante:

Face à une proposition, on commence par chercher des contre-exemples
(ex. Tous les nombres premiers sont impairs est fausse car 2 est premier et pair.)
Si on ne trouve pas de contre-exemple, et qu'on s'est convaincu(e) que la prop. est vraie, alors on essaye de la démontrer.

[charlinou]

bonjour, voilà, j'ai un exo sur les suites mais je n'arrive pas à le résoudre, même si je l'ai commencé. Voilà l'énoncé et ce que j'ai écrit:

Démontrer par récurrence que, pour tout naturel non nul:

ce que j'ai écrit:
Soit P2n-1
2n-1
p^3 = n²(2n-1)²
p=1

initialisation: pour n=1
2n-1
p^3 = 1 et n²(2n-1)²=1 donc P2n-1 est vraie.
p=1

supposons que la propriété est vraie jusqu'au rang 2n-1. Demontrons alors que P2n est vraie.

Hérédité:
P2n: 1^3+2^3+3^3+...+(2n-1)^3+(2n)^3
= n²(2n-1)²+(2n)^3
= n²(4n²-4n+1)+8n^3
=4n^4+4n^3+n²


voilà, merci beaucoup!!!