Spé maths TS

[parsy]

Bonjour à tous, est-ce que quelqu'un pourrait m'aider?
Voici mon problème où je bloque dés la premiere question:

On désigne par p un nombre premier supérieur ou égal à 7.
Le but de cet exercice est de démontrer que l'entier naturel n=p^4-1 est divisible par 240.

1) Montrer que p est congru à 1 ou à -1 modulo 3.
En déduire que n est divisible par 3.
( il se trouve que je n'es pas compris le cours sur les congruences, se qui pose problème ici)

2) En remarquant que p est impair, prouver qu'il existe un entier naturel k tel que p²-1=4k(k+1)' puis que n est divisible par 16.

3) En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de p par 5, (ou en travaillant modulo 5)démontrer que 5 divise n.

4) En utilisant la décomposition de n en produit de facteurs premiers, justifier que n est divisible par 240.

5) Existe-il quinze nombres premiers p1, p2,....,p15 supérieurs ou égaux à 15 tels que l'entier
A=p1^4+p2^4+....+p15^4 soit un nombre premier?



Merci beaucoup de m'aider car je suis vraiment perdu.

Merci d'avance.

[becirj]

1. Un nombre premier supérieur ou égal à 7 n'est pas divisible par 3 . Quand on le divise par 3, le reste est 1 ou 2.
Si le reste est 1, c'est que p-1 est multiple de 3 donc (mod 3).
Si le reste est 2, p-2 est multiple de 3 donc (mod 3) mais 2-(-1) est multiple de 3 donc (mod 3), on a donc aussi (mod 3)
(D'une manière générale 2 nombres congruent modulo 3 si leur différence est multiple de 3)
(mod 3) on peut faire des opérations avec les congruences , on a donc (mod 3), (mod 3), ce qui signifie que est multiple de 3.

Je te laisse chercher un peu la suite.

[parsy]

Pouvez vous m'aider pour la suite? car malgrés des recherches je n'y arrive pas!!
merci

[LN1]

2) pose p = 2k + 1
utilise le fait que k(k+1) est toujours pair (pourquoi ?)

3) même démonstration qu'au 1
étudie les 4 cas
(mod. 5)
(mod. 5)
(mod. 5)
(mod. 5)

pourquoi ne dois tu pas étudier le cinquième cas ? (mod. 5)

4)
Théorème de Gauss (corrolaire)
si p et q sont premiers entre eux et si n est multiple de p et de q alors n est multiple de pq (utilise le 1) le 2) le 3)

5) travaille avec les congruences modulo 3 (même travail qu'au 1)

Bon courage

[parsy]

Merci, je vais essayer.

[becirj]

2) Un nombre impair peut s'écrire sous la forme p=2k+1.


L'astuce consiste à remarquer que k et k+1 sont deux nombres consécutifs donc l'un est nécessairement pair et le produit k(k+1) est donc pair et les deux produits de la somme sont alors multiples de 16.
3) p étant premier n'est pas multiple de 5, donc il congrue, modulo 5, à 1,2,3 ou 4.
Si (mod 5) alors soit (mod 5) Le reste de la division de 81 par 5 est 1 donc (mod 5) soit (mod 5)
Fais la même chose avec 1,2 et 4. Dans tous les cas (mod 5) donc est multiple de 5

4) En utilisant les questions précédentes n est multiple de 3, 16 et 5 qui sont premiers entre eux deux à deux donc n est divisible par leur produit 240.

5) D'aprés la question 4 est multiple de 240 soit d'où
On fait la même chose avec les autres nombres et on additionne, on obtient : 15 multiples de 240 +15x1 nombre divisible par 15 donc non premier.