Sommes et produits télescopiques

[isma.lem]

Bonjour,

Pourriez-vous me donner des exemples de sommes ainsi que de produits télescopiques ?

Merci.

[isma.lem]

Bonjour,

Comment pourrait-on démontrer l'égalité suivante : [img]http://www.futura-sciences.com/cgi-bin/mimetex.cgi?1+x^n=\frac{1-x^{2n}}{1-x^n}[/img] ?

Merci.

[Olympus]

Salut !

Calcule sans les complexes la somme suivante : :happy3:

[Ericovitchi]

C'est un peu vache. Si tu commençais par exemple par ça te permettrait de t’imprégner du principe avant de tomber dans les raffinements masochistes d'Olympus.

[Olympus]

C'est un peu vache. Si tu commençais par exemple par ça te permettrait de t’imprégner du principe avant de tomber dans les raffinements masochistes d'Olympus.

Au début insomniaque, maintenant masochiste ... Je prends ça pour un compliment :marteau:

Sinon, isma connait déjà ta somme ( cf. son topic précédent ), c'est pour ça que je lui ai proposé quelque chose de plus intéressant ( mais pas très difficile ) ^^

[isma.lem]

Je suis aussi Marocain et j'étudie en 1ère bac S.M. Pour le moment nous n'avons pas encore abordé en cours la dérivabilité d'une fonction, mais des remarques du prof me font penser que c'est ce qui va nous permettre de généraliser l'expression de cos(kx).
Des petits calculs faits à la main me donnent quelque chose du genre cos(kx) = 2^(k-1) . cos^k (x) - (2^ k-3).k.cos^k)-2(x), mais la formule reste très aléatoire et je n'arrive pas exprimer le reste (qui est un nombre réel ne dépendant pas de x mais seulement de k) en fonction de k.
Quant au sigma, je n'ai pas d'idée, sinon que son coefficient dominant est 2^n-1.
Des recherches sur Internet me montrent que cos(kx) sont les polynôme de Tchebychev de première espèce, mais je n'ai toujours pas compris la démonstration du résultat fourni sur cette page, à savoir :

Vous semblez maîtriser le sujet, alors je vous serais reconnaissant de m'aider.

[Ben314]

Salut,
Tu est en train de chercher... trop compliqué...
Au départ, les différents cos(kx) ne se "téléscopent" pas bien du tout, mais les formules de trigo permettent de "fabriquer" des sommes qui, elles, risquent de ce téléscoper.
En particulier sin(?)cos(kx)=1/2[sin(kx+?)-sin(kx-?)].
Cela insite à multiplier ta somme par ... pour obtenir des ... qui se "téléscopent" trés bien.

[Olympus]

Bon bah Ben ( salut au passage ! ) a vendu la mèche, normalement c'est fini maintenant :we:

[Ben314]

Bon bah Ben ( salut au passage ! ) a vendu la mèche, normalement c'est fini maintenant :we:

J'ai eu pitiè de lui avec ces polynômes de Tchebychev...

Désolé...

[isma.lem]

Sinx semble convenir. On obtient sinx.cos(kx) = 1/2 ( sin(k+1)x -sin(k-1)x ).
Pour tout x de R - (kpi/ k appartenant à Z) : cos kx = ( sin(k+1)x -sin(k-1)x ) / 2 sinx;
Avec la somme de 1 à n, ça se télescope assez bien, mais pas immédiatement. Par exemple, le sin(k+1)x de cos kx ne va se télescoper qu'avec celui de cos(k+2)x. Quel serait le résultat final de la somme télescopique ?
Sinon ( si x appartient à (kpi/ k appartenant à Z), on a , et je pense qu'il en est de même pour -1. Donc la somme doit être égale dans ce cas à +/- (n-1+1 = n).
Au moins, mes petites recherches m'ont valu de connaître les polynomes de Tchebychev. Le niveau n'est certes pas le mien, mais ça ne fait rien .

En attendant vos réponses.

Si l'affaire est résolue, pourrions-nous passer à une autre somme ou à un produit ?

[Olympus]

Perso j'aurais pris qui se téléscope plus facilement ( deux termes consécutifs s'annulent ) . Mais bon, la tienne marche aussi, donc tu as

Tu auras remarqué que dans ce cas, on a limité notre étude au cas où n'est pas un multiple de .

[isma.lem]

Merci beaucoup pour votre réponse.
La modification de variable dans la somme est la clé.
Que me proposez-vous comme autres sommes ou produits télescopiques ?

[Olympus]

Salut !

Comme produit téléscopique, y a :

Avec ( la seule chose dont t'auras besoin ici même si tu ne connais pas les complexes ) .