Sommes et produits

[Frednight]

Bonsoir à tous

j'ai affaire à un petit DM qui me confronte aux sommes et produits consécutifs et je rencontre quelques petits problèmes; je m'en viens donc quérir votre aide en espérant que vous pourrez m'aider à mortir ces vilaines difficultés.

Je rencontre à un certain point de celui-ci ceci :

que l'on me demande de simplifier. Je sais que ladite simplification est (n+1)!-1 mais j'aimerais le démontrer autrement que par une récurrence qui ferait tomber cette formule par magie.
J'ai bien évidemment tenté de développer en faisant par exemple voire en prolongeant avce pour au final arriver avec un mais rien de bien concluant me semble t-il... des idées?

En outre, je me frotte parallèlement à d'autres pareilles expressions telles que que j'établis comme égale à , , , et . Là aucune grande idée ne me vient.

Pourriez vous m'aider et me lancer sur des pistes?

Vous en remerciant d'avance

Frednight

[Ben314]

Salut,
Tout d'abord, en ce qui concerne la preuve par récurence, qui est quand même la plus naturelle ici, on peut parfaitement "justifier" que la formule ne sort pas d'un chapeau en calculant la valeur de la somme demandé pour n=0, n=1, n=2, n=3 puis en écrivant un truc du style :
"il semblerait sur ces exemples que la somme vaut ... et on va le démontrer par récurrence"

Bon, sinon, si tu veut le faire de façon plus astucieuse et sans récurrence, il faut avoir l'idée (pas totalement évidente) d'écrire que :
k!.k=k!((k+1)-1)=(k+1)!-k!


Je regarde tes autres sommes (mais il n'y a pas forcément "d'astuce" pour éviter une bête récurence et, des fois, l'astuce est tellement grosse que on peut aussi dire qu'elle "sort d'un chapeau" comme le fait la formule d'une récurrence)

[fatal_error]

salut,

pour kk! tu peux poser (k+1-1)k! = (k+1)! - k!
pour 3^k5^{1-3k} tu factorises tout simplement
3^k5^{1-3k} = 5 * (3/5^3)^k, ou tu reconnais une serie geo
pour min(i;j) tu peux prendre pour chaque i, la somme de tous les j qui lui sont inférieurs.
typiquement, i;j=1, tu as 1, i=2, tu as j=1 et j=2, etc...
cad somme_i somme_{j<i} j

les deux dernières jsais pas

PS: eh ben alors comme ca on traine sur le forum à des heures incongrues mr ben??
gratted è_é

[Ben314]

1) Pour , c'est du "classique" à condition de voir que la suite est une suite géométrique (on a donc à faire à la somme des termes d'une suite géométrique et je pense que tu sait comment on la calcule)

2) Pour il y a plein de façons de procéder.
La plus évidente est sans doute de couper la somme de j=1 à n en deux sommes, l'une de 1 à i et l'autre de i+1 à n...
Une autre que je trouve assez rigolote est de dire que min(i,j) est évidement un entier compris entre 1 et n. Mais combien y-a-t'il de couples (i,j) tels que min(i,j)=1 ? et de couples tels que min(i,j)=2 ? ... et tels que min(i,j)=n ? Comment cela permet-il de réécrire la somme ?

3) . Là la seule chose qui me vient à l'esprit correspond à la deuxième méthode décrite précédement : lorsque , i+j est un entier entre 0 et 2n. Mais combien de façon a-t-on d'obtenir un k donné entre 1 et 2n ? (il y a deux formules différentes selon que k==n)

4) . Ici, c'est trés simple à condition de se rapeller que ce qui permet de se rammener à quelque chose de beaucoup plus simple...

[Ben314]

PS: eh ben alors comme ca on traine sur le forum à des heures incongrues mr ben??

Salut Fatal-error,
De toute façon, ces dernier temps, j'arrive rarement à me connecter avant minuit... (ce qui d'ailleurs commence à être difficilement compatible avec le fait que j'ai cours tout les matins dont 3 fois par semaine à 8h...)

[Frednight]

je suis parvenu à trouver la première somme

pour ce qui est de la seconde, je trouve ceci :

2) Pour il y a plein de façons de procéder.
La plus évidente est sans doute de couper la somme de j=1 à n en deux sommes, l'une de 1 à i et l'autre de i+1 à n...

est-ce correct?

Pour j'avance jusqu'à : . Est-ce juste et est-il souhaitable de prolonger? Si oui, comment?

3) . Là la seule chose qui me vient à l'esprit correspond à la deuxième méthode décrite précédement : lorsque , i+j est un entier entre 0 et 2n. Mais combien de façon a-t-on d'obtenir un k donné entre 1 et 2n ? (il y a deux formules différentes selon que k==n)

Je ne parviens pas à comprendre comment procéder sur ce point là :briques:

[Frednight]

Par ailleurs, je rencontre aussi des problèmes dans les exercices suivants :

montrer que ,
j'ai essayé de faire mais sans grand résultat me semble t il

mon autre problème est celui-ci:

Il s'agit de déterminer l'ensemble E des applications de qui vérifient pour tout entier naturel n :
Il s'agit donc de déterminer toutes les applications de f définies sur et à valeurs dans qui vérifient le prédicat P(n) pour tout entier n.
dans cet exercice, pour tout entier p, on note l'ensemble défini par :

1. on considère , montrer que pour tout entier p, est stable par f c.à.d ou encore que pour tout élément q de , f(q) est encore un élément de

Ici j utiliserais volontiers le fait que et que comme laissant apparaître que et que par conséquent mais je crains que mon prof de maths ne gratifie ma copie d'un E de escroc du fait que ma démonstration ne soit un peu simplette

qu'en pensez-vous?