Manipulations de sommes et de produits

[Timothé Lefebvre]

Bonsoir tout le monde (salut Micka :lol2:)

J'avais promis des exos spéciaux d'entraînement à la manipulation de sommes et de produits pour benekire2 (à sa demande en plus), voilà chose faite !

Exercice 1 :

Soit a un réel. Trouver toutes les valeurs de a pour lesquelles il existe cinq réels , , , et vérifiant les assertions suivantes :







Indice : éventuellement un peu de Cauchy-Schwarz ? Voire une autre méthode plus rapide mais moins facile à trouver.

Exercice 2 :

On pose p et q les entiers strictement positifs tq :



Mq 1979 divise p.

Indice : commencer par exprimer la somme avec des sigmas puis s'intéresser à l'arithmétique pure en considérant le théorème de Gauss.

Bonne fin de soirée !

Tim

PS : OIM of course.

[Timothé Lefebvre]

Voici quelque règles de calcul en ce qui concerne les sommes et les produits :

[Dinozzo13]

Exercice 1 :

Soit a un réel. Trouver toutes les valeurs de a pour lesquelles il existe cinq réels , , , et vérifiant les assertions suivantes :







Indice : éventuellement un peu de Cauchy-Schwarz ? Voire une autre méthode plus rapide mais moins facile à trouver.

Je trouve :


, avec



Mais je crois que ce n'est pas la réponse :triste:

[Timothé Lefebvre]

Non, pas vraiment.
Je vous laisse encore chercher un peu et après je vous donne la première étape à faire.

[benekire2]

Ca m'aurait étoné que ce ne soit pas des OIM !! Alors, pour la une je ne sais pas par ou commencé et pour la ddeuxième, le problème est que c'est une alternance somme différence. Je vais donc essayer de regrouper les sommes:


Merci beaucoup tim pour ces règles de calcul!

[benekire2]

Enfait pour la un, je vais essayer de séparer les sommes,

[Timothé Lefebvre]

Mince je croyais avoir envoyé un message ! Mon navigateur me joue des tours :/

Pour le premier commence par remarquer que l'une des sommes mise au carré donne le produit des deux autres ...
Ensuite tu pourras appliquer C-S à cette nouvelle égalité.

[benekire2]

Oui mais je sais pas comment multiplié deux sommes entre elles. Il suffit que je multiplie? J'aurais soit: soit qui semble la multiplication des deux autres? C'est bbien ca?

[benekire2]

Ca m'aurait étoné que ce ne soit pas des OIM !! Alors, pour la une je ne sais pas par ou commencé et pour la ddeuxième, le problème est que c'est une alternance somme différence. Je vais donc essayer de regrouper les sommes:


Merci beaucoup tim pour ces règles de calcul!

Soit
alors là bidouillage bidouillage...
Ai-je le droit d'écrire ca?

[Timothé Lefebvre]

Ah mais il faut laisser les sommes quand même ^^



Ou, si tu préfères :

Désolé je crois que tout à l'heure j'ai dit de considérer la somme des sommes, mais c'est bien sûr le produit, je corrige.

[Timothé Lefebvre]

Soit
alors là bidouillage bidouillage...
Ai-je le droit d'écrire ca?

Non pas tout à fait mais on verra ce second exo après ok ? ^^

[benekire2]

[benekire2]

Non pas tout à fait mais on verra ce second exo après ok ? ^^

Ok, ca marche tim

[Timothé Lefebvre]

Eh bien voilà, tout à fait !
Pour y voir plus clair tu remplaces les sommes par les a et tu vois tout de suite.

Cependant, pour se permettre de faire ça il faut tout de même préciser que "s'il existe un a réel et cinq réels x positifs qui vérifient l'énoncé, alors on a ...".

Comment appliquer C-S ici ?
Voudrais-tu quelques explications sur cette fameuse inégalité de Cauchy Schwarz ?

[benekire2]

Euh oui je voudrais bien parce que en fait je vois pas comment on l'applique dans ce cas là!! Même s'il me semble évidement qu'on est dans le cas de l'égalité, ce qui va faire avancer l'énoncé :d

[benekire2]

Je viens de réfléchir, faudrait développer notre membre de droite peut être ou faire quelque chose,

[benekire2]

Je vais tenter une utilisation:
En partant de l droite pour arriver sur la gauche.

[Timothé Lefebvre]

Ok, alors, cette inégalité de Cauchy-Schwarz. Cauchy un mathématicien français du XIXe, Schwarz un mathématicien allemand du XVIIIe et XIXe (Cauchy est né en toute fin du XVIIIe en fait).

Soient (, , , ..., ) et (, , , ..., ) deux vecteurs de
Cauchy et Schwarz nous disent qu'on peut écrire l'inégalité suivante :



Ils précisent aussi qu'on est dans un cas d'égalité ssi les deux vecteurs (, , , ..., ) et (, , , ..., ) sont proportionnels.

Si tu veux t'amuser à la démontrer il faut poser un polynôme du second degré (les coeff sont à déterminer :lol2:) puis en calculer le discriminant.

On peut aussi écrire cette inégalité sous une autre forme, peut-être plus facilement utilisable :



Vois-tu le lien avec notre exercice, notamment sur cette dernière notation ?

[benekire2]

Es-ce que j'ai proposé est ce qu'il faut utiliser ? On effectue ensuite un groupement de somme puis une décomposition ?

[Timothé Lefebvre]

Je vais tenter une utilisation:
En partant de l droite pour arriver sur la gauche.

Ton inégalité a un problème, des termes sommés disparaissent !