Démontrer et utiliser l'IAG - Polynômes symétriques

Salut tout le monde

Aujourd'hui je vous propose un exo assez sympa qui met en jeu la démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) que vous connaissez peut-être.

Énoncé :

On pose x,y et z des réels positifs ou nuls tels que leur somme égale 1.
Montrer que :

[center]

[left]On se servira de l'IAG (aussi appelée inégalité de la moyenne) que l'on démontrera au cours du raisonnement.


Rappel de l'énoncé de l'IAG :

Soient , , ..., des réels positifs, alors :

[center]

[left]Bon courage et bonne fin de journée !

Tim
[/left]
[/center]
[/left]
[/center]

Salut,

j'ai trouvé sans IAG en voyant la somme comme une fonction de z :



Or, et on en déduit que

En posant on remarque que . Reste donc à montrer que S(z) atteint son maximum en 1/3.
Pour ça il faut remarquer que x, y et z ne peuvent être tous les 3 supérieurs à 1/3. On peut donc supposer quitte à permuter que z est inférieur à 1/3. L'étude de S(z) sur [0,1/3] (dérivée + tableau de variation) donne rapidement pour tout z, S(z) < S(1/3) CQFD.

Salut à toi,

je ne l'avais pas vu comme ça tiens !

Je passe l'inégalité avec 0 (elle est simple à démontrer).
Pour l'inégalité de droite j'ai noté que les éléments formaient des polynômes symétriques (d'où le nom de l'exercice).
Je pose donc le polynôme : P(n)=(n-x)(n-y)(n-z).
Si je place ce polynôme dans l'inégalité je tombe alors sur 2(P(1/2)+1/8) 7/27 que je prouve avec l'IAG.

Je ne comprends pas ce que tu entends par "j'ai noté que les éléments formaient des polynômes symétriques" !

Eh bien les éléments de l'inégalité sont des polynômes symétriques élémentaires, non ?

Ah, tu veux dire que xy+yz+zx-4xyz est un polynôme symétrique ok. D'accord pour ta preuve.

Oui, désolé si je n'ai pas été clair.

D'autres avaient-ils des preuves différentes des nôtres ?

On pose , ,

L'inégalité à démontrer se réécrit alors :



L'inégalité de Schur s'énonce comme suit :

pour tout réel et réels positifs , ,

Pour nous avons :

Pour nous avons :

De ces deux inégalités on en déduis un encadrement pour et :

(1)

(2)

De (2) nous avons et puisque alors par transitivité,

L'inégalité à démontrer se réécrit aussi

De (1) nous avons

Or il est bien connu que d'où et ainsi par transitivité,

Ainsi nous avons prouvé que

Sympa Zweig

En ce qui concerne la démo de l'IAG je propose de faire une simple étude de cas.
Si l'un des est nul (on a ) alors le résultat est évident.
Si ce n'est pas le cas alors il suffit de poser , .
Dans ce dernier cas, l'inégalité devient une simple conséquence du fait de la convexité de l'exponentielle (on aura au préalable réécrit l'inégalité sous cette forme pour parvenir à ça).

Question subsidiaire : Démontrer l'IAG par récurrence :zen:.

Lol, bonne idée tiens ^^

Un volontaire ?

Pour n=2 c'est Cauchy-Schwartz et par identité remarquable et récurrence on montre que c'est vrai pour tous les 2^n, on conclut pour n quelconque en prenant la moyenne arithmétique des n premiers (en gros).

Une autre méthode consiste à examiner les extrema de sous la contrainte avec x quelconque positif et d'appliquer le théorème des extrema liés.

Bref, encore un énoncé avec plein de jolies méthodes.

En fait je crois qu'on peut aussi appliquer l'inégalité du réordonnement pour démontrer l'IAG (il me semble l'avoir lu quelque part).
Cependant, si mes souvenirs sont bons on a besoin de la méthode de Cauchy dont tu parles Nightmare pour traiter le cas d'égalité.

Un exemple intéressant avec l'IAG : comment relier la moyenne harmonique à la moyenne géométrique de n réels strictement positifs ?

Après il me semble aussi qu'on peut s'intéresser à l'inégalité de Chebychev dans le même rayon.

Qu'appelles-tu méthode de Cauchy?

Nightmare a écrit:Pour n=2 c'est Cauchy-Schwartz et par identité remarquable et récurrence on montre que c'est vrai pour tous les 2^n, on conclut pour n quelconque en prenant la moyenne arithmétique des n premiers (en gros).

Exactement celle-là.