Démontrer et utiliser l'IAG - Polynômes symétriques

[Timothé Lefebvre]

Salut tout le monde

Aujourd'hui je vous propose un exo assez sympa qui met en jeu la démonstration de l'Inégalité Arithmético-Géométrique (IAG) que vous connaissez peut-être.

Énoncé :

On pose x,y et z des réels positifs ou nuls tels que leur somme égale 1.
Montrer que :

[center]

[left]On se servira de l'IAG (aussi appelée inégalité de la moyenne) que l'on démontrera au cours du raisonnement.


Rappel de l'énoncé de l'IAG :

Soient , , ..., des réels positifs, alors :

[center]

[left]Bon courage et bonne fin de journée !

Tim
[/left]
[/center]
[/left]
[/center]

[Nightmare]

Salut,

j'ai trouvé sans IAG en voyant la somme comme une fonction de z :



Or, et on en déduit que

En posant on remarque que . Reste donc à montrer que S(z) atteint son maximum en 1/3.
Pour ça il faut remarquer que x, y et z ne peuvent être tous les 3 supérieurs à 1/3. On peut donc supposer quitte à permuter que z est inférieur à 1/3. L'étude de S(z) sur [0,1/3] (dérivée + tableau de variation) donne rapidement pour tout z, S(z) < S(1/3) CQFD.

[Timothé Lefebvre]

Salut à toi,

je ne l'avais pas vu comme ça tiens !

Je passe l'inégalité avec 0 (elle est simple à démontrer).
Pour l'inégalité de droite j'ai noté que les éléments formaient des polynômes symétriques (d'où le nom de l'exercice).
Je pose donc le polynôme : P(n)=(n-x)(n-y)(n-z).
Si je place ce polynôme dans l'inégalité je tombe alors sur 2(P(1/2)+1/8) 7/27 que je prouve avec l'IAG.

[Nightmare]

Je ne comprends pas ce que tu entends par "j'ai noté que les éléments formaient des polynômes symétriques" !

[Timothé Lefebvre]

Eh bien les éléments de l'inégalité sont des polynômes symétriques élémentaires, non ?

[Nightmare]

Ah, tu veux dire que xy+yz+zx-4xyz est un polynôme symétrique ok. D'accord pour ta preuve.

[Timothé Lefebvre]

Oui, désolé si je n'ai pas été clair.

D'autres avaient-ils des preuves différentes des nôtres ?

[Zweig]

On pose , ,

L'inégalité à démontrer se réécrit alors :



L'inégalité de Schur s'énonce comme suit :

pour tout réel et réels positifs , ,

Pour nous avons :

Pour nous avons :

De ces deux inégalités on en déduis un encadrement pour et :

(1)

(2)

De (2) nous avons et puisque alors par transitivité,

L'inégalité à démontrer se réécrit aussi

De (1) nous avons

Or il est bien connu que d'où et ainsi par transitivité,

Ainsi nous avons prouvé que

[Timothé Lefebvre]

Sympa Zweig

En ce qui concerne la démo de l'IAG je propose de faire une simple étude de cas.
Si l'un des est nul (on a ) alors le résultat est évident.
Si ce n'est pas le cas alors il suffit de poser , .
Dans ce dernier cas, l'inégalité devient une simple conséquence du fait de la convexité de l'exponentielle (on aura au préalable réécrit l'inégalité sous cette forme pour parvenir à ça).

[Zweig]

Question subsidiaire : Démontrer l'IAG par récurrence :zen:.

[Timothé Lefebvre]

Lol, bonne idée tiens ^^

Un volontaire ?

[Nightmare]

Pour n=2 c'est Cauchy-Schwartz et par identité remarquable et récurrence on montre que c'est vrai pour tous les 2^n, on conclut pour n quelconque en prenant la moyenne arithmétique des n premiers (en gros).

Une autre méthode consiste à examiner les extrema de sous la contrainte avec x quelconque positif et d'appliquer le théorème des extrema liés.

Bref, encore un énoncé avec plein de jolies méthodes.

[Timothé Lefebvre]

En fait je crois qu'on peut aussi appliquer l'inégalité du réordonnement pour démontrer l'IAG (il me semble l'avoir lu quelque part).
Cependant, si mes souvenirs sont bons on a besoin de la méthode de Cauchy dont tu parles Nightmare pour traiter le cas d'égalité.

Un exemple intéressant avec l'IAG : comment relier la moyenne harmonique à la moyenne géométrique de n réels strictement positifs ?

Après il me semble aussi qu'on peut s'intéresser à l'inégalité de Chebychev dans le même rayon.

[Nightmare]

Qu'appelles-tu méthode de Cauchy?

[Timothé Lefebvre]

Pour n=2 c'est Cauchy-Schwartz et par identité remarquable et récurrence on montre que c'est vrai pour tous les 2^n, on conclut pour n quelconque en prenant la moyenne arithmétique des n premiers (en gros).

Exactement celle-là.