michtech a écrit:L'effectif de sa classe est de 26 élèves.
Moi j'aimerai juste que le stagiaire puisse me justifier de l'utilisation de cet outil, car dans som mémoire professionnel, la courbe intervient sans explication pour voir comment il distribuait ses notes dans la classe après son premier contrôle de technologie. Ensuite il a réalisé les courbes de Gauss de toutes les autres matières et comparé avec la sienne.
!!
l'effectif de 26 eleves est effectivement insuffisant pour l'hypothese de la limite gaussienne. Dans ce cas, s'il faut
justifier une loie de repartition, je conseillerai l'utilisation d'un test d'adequation, en particulier un test d'ajustement.
Le test "bateau" dit du "khi2" (lettre grecque khi, indice 2) est une sorte de "bonne à tout faire", car c'est un test d'homogenité, d'independance et d'ajustement. C'est cette derniere propriété qui nous interesse ici. Il est helas delicat et fastidieux à appliquer, mais il est "robuste". C'est quasi impossible de vous expliquer toute la theorie ici, mais seulement des grandes lignes. Pour faire le test d'adéquation de la loi gaussienne, il faut d'abord diviser les échantillons en "classes" (pas en classes scolaire, il s'agit d'une partition d'un ensemble...). Ici vient la premiere difficulté : il faut faire un plus grand nombre de classes, tout en ayant des classes assez vastes, ce qui est contradictoire. en general, pour n>=200 on prend k classes = n/5 ...et on recommande de ne pas regrouper les classes extremes, meme si l'effectif est inferieur à 5, car un bon accord avec ces classes justifie l'ajustement... (boujour le travail "au pif"...)
ensuite, on determine le nombre de degrés de liberte (v= k -r -1), avec k, le nombre de classes, r le nombre de parametre (ici r=2, soit la moyenne et l'écart type...) et on calcule la valeur de la fonction Khi2. A partir de là, on fixe le seuil de confiance du test, en general, on prend un seuil Probabilité = 0.05 tel que le kh2 soit superieur à C-alpha. C-alpha est donné par les valeurs tabulées de khi2 (en fonction de v). C'est à dire qu'il y a 1-0.05 = 0.95 = 95% de probabilité que le khi2 soit inferieur à C-alpha. Si le khi2 est superieur à C-alpha, l'ajustement n'est pas bon et la gaussienne refusée, si il est en dessous, il est accepté et la loi gaussienne justifiée.
autre point à regarder pour l'ajustement : il faut la fonction "candidate à l'ajustement", soit :
pour le cas qui nous occupe, il faut estimer proprement la moyenne et l'écart type de la loi.
pour cela il faut utiliser un estimateur. Il se trouve que dans la cas de la moyenne, l'estimateur efficace et sans biais de la moyenne probabiliste est ... la moyenne statistique... Donc,la moyenne probabiliste est considérée égale à la moyenne statistique.
dans le cas de l'écart type,
c'est legerement plus compliqué : il faut utiliser le "sigma n-1". ou pour etre plus clair, l'ecart type probabiliste peut etre estimé de maniere efficace et sans biais par la formule statistique :
ecart type = racine carre de (somme sur i (xi-m)^2/(
n-1))
alors que l'écart type statistique est :
ecart type = racine carre de (somme sur i (xi-m)^2/
n)
on estime donc l'écart type probabiliste à partir de l'écart type statistique en faisant : ecart type proba = (ecart type stat)*racine carree(n/(n-1)). En general, les eleves qui ont lu leur cours en travers se plantent tous à ce niveau... :marteau:
cela donne la formule de la loi gaussienne à soumettre au test du khi2...
il existe un autre test que le khi2 dans le cas d'une loi continue, c'est le test
d'ajustement de Kolmogorov.
Il est un peu plus simple que le khi2, mais moins courant d'usage. il fonctionne suivant une methode analogue.
Dans ce cas, il faut aussi estimer les parametres de la gaussienne et contruire la statistique de la fonction de Kolmogorov.
On fixe alors le seuil de confiance (0.05, comme pour le khi2...) et on dit, la proba de depasser ce seuil correspond à la valeur de la fonction de Komogov donnée par la table. si elle est depassée, la loi est rejetée, sinon, elle est acceptée avec une confiance de 95 %... c'est presque le meme principe que le khi2..