Intégrale de Gauss

[stummel]

Bonjour à tous,

Récemment, je me suis intéressé aux méthodes de résolution de l'intégrale de Gauss :


J'ai trouvé un plusieurs démonstrations :

• Une exploitant la fonction atan
• Une basée sur la méthode de calcul d'intégrales de Feynman
• Une exploitant le passage en coordonnées polaires

C'est cette dernière méthode qui me pose question, d'autant plus que c'est celle qui paraît être la plus communément admise. Pour rappel le principe est d'arriver dans un premier temps à la formule suivante :


A ce moment là se produit un truc un peu magique : on dit que l'on passe en coordonées polaires et on obtient alors :


Cette transformation permet de calculer facilement l'intégrale.
Seulement voilà, en faisant ce changement de système de coordonnées on fait ni plus ni moins qu'un changement de variables en posant . Ce que j'aimerais comprendre, c'est comment arrive-t-on mathématiquement au fait que .
Je comprends bien que décrit un petit élément de surface rectangulaire mais décrit un petit élément de surface sectoriel (je ne sais pas trop comment appeler cette forme). Qu'est ce qui fait que ces surfaces sont égales ?

Merci pour vos réponses.

[hdci]

Bonjour,
Sans entrer trop dans les détails : si est la fonction qui fait le changement de variable et que cette fonction est un difféomorphisme (bijection différentiable), alors la formule de changement de variable est (en considérant que X est l'ensemble des variables initiales et que R est l'ensemble des variables finales)


Où le jacobien de est le déterminant des dérivées partielles.

Dans le cas présent, on a
Le jacobien est donc le déterminant suivant (dérivée partielle selon r première colonne, selon theta seconde colonne)


D'où le changement en

[stummel]

Merci pour ta réponse. Mais là je dois avouer que j'atteins un peu mes limites

Ceci dit en me basant sur ce que tu as écris, j'aurais envie de procéder ainsi :



En différenciant chaque expression j'aurais :

et


En multipliant les deux expressions je m'attendais à retomber sur mais malheureusement ce n'est pas le cas...

[phyelec]

Bonjour,

Vous ne pouvez pas multiplier les 2 expressions comme vous l'avez fait car dx et dy sont des vecteurs et donc vous devez faire un produit vectoriel:

[stummel]

Merci d'avoir pris le temps de développer ce calcul.
Cette réponse me satisfait pleinement.