Deux Autres Exercices ... Bien Etoilés !

1-Soit a, b, c les longueurs des cotés d’un triangle ABC du plan.
(a) Montrer qu’on peut trouver des réels strictement positifs x, y, z tels que a = x+y, b = y+z et c = z + x.
(b) Montrer que
1,5 <= a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2

2-Soit a un entier de N. On d´efinit la suite (un) par u0 = a et la relation de recurrence
u(n+1) = u(n)+E(;)u(n)). ( E de racine de u(n))
Montrer qu’il existe une infinité d’indices n pour lesquels u(n) est un carré parfait.
Rappel :Si x est un r´eel, E(x) d´esigne la partie enti`ere de x, c’est-`a-dire l’unique entier n tel que
n < = x < n + 1.

Hi;
S'il vous plait, aidez moi dans la resolution de ces exercices !
Merci bcp

Pour le 1), comme souvent, le plus simple est de faire de la géométrie : Si on trace le cercle inscrit au triangle, on s'aperçoit que les longueurs des segments reliant les sommets au points de tangence sont les réels x, y, z demandés. Cela vient du fait que les tangentes à un cercle menées par un point ont même longueur.
Bonne chance pour la suite

merci pour votre idee Galt.

Non inscrit a écrit:1-Soit a, b, c les longueurs des cotés d’un triangle ABC du plan.
(a) Montrer qu’on peut trouver des réels strictement positifs x, y, z tels que a = x+y, b = y+z et c = z + x.
(b) Montrer que
1,5 <= a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) < 2

(a) Le système de trois équations à trois inconnues se résouds immédiatement et donne :





Or a, b, c, sont les côtés d'un triangle et les inégalités triangulaires sont :






... ce qui montre que les trois nombres x, y et z ci-dessus sont positifs ou nuls.

(b) Posons

En remplaçant a, b et c par leurs valeurs en fonction de x, y et z on peut écrire :







Ainsi :



Et comme x, y e t z sont positifs ou nuls, on peut dire que :





Finalement


Pour l'autre inégalité, je n'ai pas encore trouvé...

A Chimerade :
Un merci sincère !
Merci bcp...

Non inscrit a écrit:A Chimerade :
Un merci sincère !
Merci bcp...

il y en a qui sont vraiment poli(e)s dans ce forum!!!

Salut,


Pour le 2ème, il faut faire des dessins !

A chaque fois qu'on "passe" un carré l'écart avec ce carré diminue.

Si u(n) = A² + k avec 0 < k <= A alors u(n+1) = A² + A + k, u(n+2) = A² + 2A + k.
Mézalor u(n+2) - (A+1)² = k-1 < k.

On fait pareil si u(n) = A² + k avec A < k <= 2A.

Une suite strictement décroissante d'entiers finit par devenir nulle.

CQFD.

Un bonus, on peut même, si je me suis pas planté lamentablement dans les indices, donner des carrés suivants en en connaissant un :

si u(n0) = A² alors u(n0 + n + 2A(2^n-1)) = (2^n * A)²

tµtµ a écrit:Une suite strictement décroissante d'entiers finit par devenir nulle.

CQFD.

Je ne suis pas convaincu : une suite décroissante d'entiers peut devenir négative sans passer par zéro !

tµtµ a écrit:Un bonus, on peut même, si je me suis pas planté lamentablement dans les indices, donner des carrés suivants en en connaissant un :

si u(n0) = A² alors u(n0 + n + 2A(2^n-1)) = (2^n * A)²

Pour ça, je ne sais pas, je suis également sur le problème, mais je n'ai pas terminé. Terminerai-je un jour ?

Chimerade a écrit:Je ne suis pas convaincu : une suite décroissante d'entiers peut devenir négative sans passer par zéro !

A priori, k est >= 0 ...

tµtµ a écrit:A priori, k est >= 0 ...

Oui ! Mais k-1 ?

tµtµ a écrit:A priori, k est >= 0 ...

Au temps pour moi. Tu as raison ! Effectivement, on est obligé de tomber sur un carré.
Si k > A, on peut le remplacer par K' = k-A
u(n)=A²+A+k'
u(n+1)=A²+2A+1+k'-1=(A+1)²+k'-1
et c'est u(n+1) qui passe le carré au lieu de u(n)

OK ! Je suis 100% d'accord !

je n'ai pas encore vérifié le "bonus" (je m'y emploie tout de suite), mais si notre ami "tmutmu" dit vrai, c'est très admirable! chapeaux bas, messieurs...c'est ce qui s'appelle démonter un exercice.

vérification faite, c'est exactement ça.

Une remarque : pour la démonstration, dans le cas où Un s'écrit A^2 + k avec k>A , c'est Un+1 qui dépasse déjà (A+1)^2 d'un entier plus petit que k (en fait, plus petit que k/2).

sept-épées a écrit:chapeaux bas, messieurs...

Rectification "chapeaux bas, monsieur..." ! C'est tµtµ qui a tout fait, je me suis contenté d'expliciter un peu ce qu'il avait dit.

Moi, j'étais parti sur une démonstration compliquée (dont je n'étais pas encore sorti, d'ailleurs) qui visait à démontrer quelque chose du genre du "bonus". Mais il me restait à démontrer qu'on tombait au moins sur un carré à un moment ou à un autre...

Donc, tµtµ m'a coupé l'herbe sous le pied... Je lui tire mon chapeau...Je n'ai pas vérifié le "bonus" non plus, je suis sûr que c'est correct...

Chimerade a écrit:C'est tµtµ qui a tout fait

yeah, I knew that...

désolé, j'avais pas vu que tu avais déjà fait la remarque que je voulais faire, Chimerade.

le bonus est bon aussi.

Hi,
Merci a tutu et a chimerade pr votre support.