Aide sur un probleme de géometrie

J'ai un probleme de géometrie qui me semblait simple au début mais qui pourtant me pose beaucoup de difficulté

donc je suis ouvert à toute idée (voir même pour me dire qu'il n'y a pas de solution analytique exacte!)

J'ai besoin de calculer l'aire de la surface définit comme suit :

- Soit un Cercle de Centre O et de rayon R.
- Soit J un point connu à l'interieur de ce cercle (mais different de O sinon c'est trop facile !)
- I est un point connu du cercle
- Comment faut il placer un point K sur le cercle de manière à ce que l'aire limité par JI, JK et l'arc de cercle IK soit égale à une surface donné (par exemple 1/6 de l'aire du disque).
- pour la suite je pense qu'on doit pouvoir tout exprimer par rapport à Phi qui est l'angle formé par les segments JI et JK. L'angle Teta formé par les droite OI et OK doit probablement pouvoir servir dans le calcul, mais...

J'ai une image, mais je n'arrive pas à la mettre (désolé je suis nouveau sur l'utilisation d'un forum)

Merci d'avance

Tiens pour mettre ton image tu peux aller sur cet hébergeur : http://www.imageshack.us/
Si tu ne sais pas comment çà marche je me ferai un plaisir de t'expliquer.(une image serait la bienvenue avec ton énoncé).

Si j'ai bien compris la question, tout semble pouvoir se calculer.

Aire recherchée
= aire du triangle IKJ + aire située entre la corde et l'arc de cercle KI
= aire du triangle IKJ + (aire de la portion de disque OKI - aire du triangle OKI)

La première aire dépend de la position de J à l'intérieur du disque.
La seconde et la troisième aires ne dépendent que de theta.

La difficulté semble résider dans le choix d'un bon système de coordonnées pour J.

Nicolas

Je n'ai pas le temps de conclure tous les calculs, mais il y a moyen d'obtenir une équation.

Soit R le rayon du cercle.
Soit alpha l'angle orienté (OI, OJ) et r la distance OJ : cela définit complètement J
Soit theta l'angle orienté (OI, OK) qui définit complètement K.

Soit A l'aire délimitée par JI, JK et l'arc de cercle JK.

A = A1 + (A2 -A3)
où A1 = aire du triangle IJK
où A2 = aire de la portion de disque délimitée par OI et OK
où A3 = aire du triangle OIK

A2 = pi.R^2*.theta|/2pi = R^2.|theta|/2

A3 = 2.R^2.cos(theta/2).sin(|theta|/2)/2=R^2.sin(|theta|)/2
(en découpant ce triangle isocèle en deux)

Le plus dur reste A1
Appelons phi l'angle (JI, JK)
(OJ) sépare phi en phi1 (du côté de I) et phi2 (du côté de J) : phi=phi1+phi2
A1 = IJ.IK.sin(|phi|)
Or JK^2 = r^2 + R^2 - 2.r.R.cos(theta-alpha)
Or JI^2 = r^2 + R^2 - 2.r.R.cos(alpha)
Or, dans OIJ : sin(pi-phi1)/R=sin(alpha)/IJ
Or, dans OJK : sin(pi-phi2)/R=sin(theta-alpha)/IK
D'où ph1 et ph2, puis phi en fonction de r, R, alpha, theta.

L'expression finale de l'aire cherchée n'est pas très jolie, avec des racines carrées, des arcsin, ...
Sous cette forme, la résoudre analytiquement pour trouver theta semble impossible.
La fin de mes indications est à rendre plus rigoureuse, car les angles orientés se sont un peu perdus.
Il y a peut-être plus simple.

Nicolas

Or

Voila L'image que je voulais mettre :


Il faut calculer l'aire entouré de rouge.

Merci pour ta reponse Nicolas. Je n'avais pas essayé de découpé l'angle Phi en 2. Je vais essayer de triturer tout ca pour en sortir quelque chose.

benchoc, pour mon information, d'où vient cet énoncé : c'est un exercice scolaire, ou une question que tu te poses ?

Nicolas,

Par rapport à ton dernier message, il ne s'agit pas d'un exercice scolaire (bien que vu la simplicité de l'énoncé on puisse le croire...). En fait c'est lié à un probleme industriel dans le domaine de l'injection des moteurs (j'ai passé mon bas il y a un petite moment déjà). Le probleme complet est de diviser un cercle en partie égale mais à partir d'un point qui n'est pas le centre.

Voila pour l'origine du probleme. Sinon concernant la solution que tu propose, j'ai l'impression qu'il manque encore quelque chose :

JI^2 = r^2 + R^2 - 2.r.R.cos(alpha) nous donne alfa car JI, r et R son connus.

sin(pi-phi1)/R=sin(alpha)/IJ nous donne phi1 car alfa IJ et R sont maintenant connus.

par contre je ne vois pas comment procéder pour la suite :
sin(pi-phi2)/R=sin(theta-alpha)/IK
phi = phi1 + phi2

il y a donc toujours comme inconnus : phi2,teta,phi soit 3 inconnues pour 2 équations...

Par ailleurs j'ai un logiciel de CAO qui me permet de visualiser ce qui se passe quand on déplace J à l'intérieur du cercle (à I et K fixe) :

plusieurs cas se présente (en fait 4) : il faut selon le cas ajouter ou retrancher certaines aire de triangle...

J'ai un peu peur que ce problème à l'énoncé simple n'ait pas un solution qui le soit. J'ai essayé de calculé l'aire en utilisant des intégrales mais sans grand succés même avec l'aide de logiciel de calculs formel (mathlab).

Voila, en fait je finit par me demander si ce probleme est solvable analytiquement et de sucroit avec le niveau lycee...

si je trouve je poste.

1. Sauf erreur, ma "méthode" permet de trouver une équation à une inconnue (= theta)

En effet, phi1 et phi2 s'expriment en fonction de r, R, alpha et theta.
Donc phi=phi1+phi2 aussi.
On a vu que JK et JI aussi.
Finalement A1, puis l'aire totale, s'exprime en fonction de r, R, alpha, theta.

Aire = f(r, R, alpha, theta).

Dans ton premier premier message, tu parlais de
Aire = 1/6 pi R^2
Dans ce cas :
1/6 pi R^2 = f(r, R, alpha, theta)
r, R, alpha sont donnés
theta, qui définit K, est l'inconnue

2. Mais, vu la tête de f, il semble impossible de "sortir" theta. A mon avis, non solvable analytiquement.

Bon courage,

Nicolas