Matrices ou probabilités

[Scooby-doo]

Bonjour !

La question à laquelle je dois répondre est la suivante :

Mn est un ensemble de matrices nxn dans lesquelles tous les éléments sont des nombres entiers entre 1 et 99 inclusivement.

L'élément m(1,1) doit être un multiple de l'élément m(n,1) ou l'élément m(n,n) doit être un multiple de l'élément m(1,n). (ce ou veut dire, je crois, que c'est un ou l'autre des deux évènements ou bien les deux en même temps)

On me donne les matrices suivantes : M3, M5, M15 et M19. (c'est-à-dire toutes les matrices 3x3, 5x5, 15x15 et 19x19 possédant les caractéristiques mentionnées plus haut)

Je doit trouver combien de ces matrices possèdent un déterminant entre -1/3 et 15/19 inclusivement, et combien en possèdent un à l'extérieur de ces deux valeurs.

Je suis très confuse. Si je calcule le nombre de matrices possibles ayant des éléments entre 1 et 99, et dans lesquelles m(1,1)=k*m(n,1) OU m(n,n)=c*m(1,n), il y a tellement de possibilités que le chiffre ne s'affiche même pas sur ma calculatrice.

De plus, je ne trouve aucune facon autre que essais/erreur pour savoir lesquelles ont un déterminant entre -1/3 et 15/19.

J'ai trouvé qu'il y avait une relation entre le déterminant et les chiffres dans la diagonale mais on dirait que chaque cas est trop différent pour les regrouper.

Je crois peut-être qu'il me manque des informations sur les types de matrices ou les propriétés des éléments d'une matrice, mais de tous ce que je connais, rien ne me mène à la réponse.

Merci à l'avance de votre aide!

[jlb]

une petite aide:
tes matrices sont à coefficients entiers, le déterminant va être un entier relatif!!! et avec la condition donnée, cela en élimine beaucoup!!

[L.A.]

Bonjour.

Déjà, si le déterminant d'une matrice à coefficients entiers est entre -1/3 et 15/19, il n'a pas d'autre choix que d'être nul.

Cette condition me surprend un peu du coup. D'où est-ce qu'elle vient ? Si c'est simplement un piège, il y en a peut-être un autre, mais je ne vois pas.

Désolé, je ne peux pas plus t'aider...

[Scooby-doo]

Merci je ne savais pas que le déterminant ne pouvais pas être un nombre fractionnaire dans ce cas-ci !

[L.A.]

Tant mieux, je n'aurais pas été totalement inutile cette fois-ci.
Est-ce que tu as bien mis toutes les indications que tu as dans ton message ?

[Scooby-doo]

oui oui ! Il n'y avait rien de plus. Je suis d'accord avec toi je crois qu'il y a peut-être un piège car quand je fais mes calculs d'arrangements, j'arrive à une énorme réponse.

[L.A.]

S'il n'y a pas plus de conditions, c'est certain que la réponse va être très grande de toute façon, puisque ce ne sont pas des divisibiltés ridicules sur deux des éléments aux quatres coins qui vont changer grand chose... La condition de déterminant nul fait diminuer d'un cran la dimension, mais le résultat reste de l'ordre de 99^(19^2), soit environ 100^400, c'est-à-dire un nombre à 800 chiffres.

Non... cet exercice est même au-delà de la portée humaine (et soit dit en passant je ne vois pas du tout l'intérêt).

[Scooby-doo]

De plus, ce n'est même pas de niveau universitaire, alors je ne comprends pas pourquoi la question est si difficile !

[Scooby-doo]

On m'a dit que faire la racine carrée de la matrice serait utile dans ce problème, saurais-tu pourquoi?