Dm Suites Algorithmes

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
roda00
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Dm Suites Algorithmes

par roda00 » 10 Sep 2016, 23:58

Bonjour,
je suis unTerminale S et j'ai besoin de l'aide pour mon DM de Maths sur les suites !

Sujet:
Dans un repere orthonorme, on considere la suite de points An de coordonnees (Xn;Yn) telles que (X0;Y0)=(3;1) et pour tout entier naturel n , X(n+1) = 31/2-11/10*Yn et Y(n+1)=11/10*Xn-6
1) Calculer les coordonnees de A1 A2 et A3
J'ai trouve A1( 72/5;-27/10) A2(1847/100;246/25) A3(1169/250; 14.317)
2)On souhaite placer les points An pour n allant de 0 a 30.
a- on a programme ci dessous 3 algorithmes pour tracer ces points. Un seul convient.Preciser lequel en justifiant la reponse

Algo 1 :
x,y,z,i sont du type nombre
debut algo : x prend la valeur 3 y prend la valeur 1
tracer point (x,y)
pour i allant de 1 a 30
debut pour : x prend la valeur 15.5-1.1*y
y prend la valeur 1.1*x-6
tracer point (x,y) fin pour
fin algo

Algo 2:
x,y,z,i sont du type nombre
debut algo : x prend la valeur 3 y prend la valeur 1
tracer point (x,y)
pour i allant de 1 a 30
debut pour : z prend la valeur 15.5-1.1*y
y prend la valeur 1.1*x-6
x prend la valeur z
fin pour
tracer point (x,y)
fin algo

Algo 3:
x,y,z,i sont du type nombre
debut algo : x prend la valeur 3 y prend la valeur 1
tracer point (x,y)
pour i allant de 1 a 30
debut pour : z prend la valeur 15.5-1.1*y
y prend la valeur 1.1*x-6
x prend la valeur z
tracer point (x,y)
fin pour
fin algo

J'ai choisi l'algo 3 car pour l'algo 1 x ne change pas de valeur il prend tout le temps la valeur 3 et pour l'algo 2 tous les points ne seront pas traces car "tracer point" est place avant "fin pour" ( je ne suis pas sur de ma reponse et ma justification)
3) a- En programmant cet algorithime ou a l'aide d'un tableur, placer ces points dans un repere. ( j'ai utlise le tableur de excel pour tracer le graphique avec le point de nuage et ca avait la forme d'une croix ? )
b- quelle(s) conjecture(s) peut on emettre sur la nature de l'ensemble des points An?
( c'est la que ca se complique j'en ai vraiment aucune idee !! )

4) a- Determiner une equation de la droite (A0A2)
je suis passe par un calcul de vecteur et j'ai trouve 221/25x-1547/100y-221/20=0
b- Determiner une equation de la droite (A1A3)
pareil avec cette question j'ai trouve 17.017x+2431/250y-218.79=0

2) Montrer que si, pour un entier naturel n An appartient a la droite (A0A2) alors A(n+1) appartient a la droite (A1A3)
3) Montrer que si pour un entier naturel n An appartient a la droite (A1A3) alors A(n+1) appartient a la droite (A0A2)

Je n'ai rien compris a ces 2 dernieres questions j'ai demande au professeur et il a dit que c'est similaire a un raisonnement par recurrence (on a fait le cours de rasonnement par recurrence il y a 3 jours ) mais j'y arrive pas je bloque totalement :( !

4) Demontrer votre conjecture ( je n'ai meme pas conjecturer au depart donc je ne sait pas)

Je dois le rendre le lundi 12/09 donc repondez moi le plus vite possible SVP !
Merci de m'accorder votre temps !
:D :D



samoufar
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Re: Dm Suites Algorithmes

par samoufar » 11 Sep 2016, 01:30

Bonsoir,

Question 2
Effectivement il faut choisir l'algorithme 3. Par contre pour le 1, ce n'est pas que prend la valeur mais plutôt que tu changes la valeur de avant de changer celle de . Ça donne
Code: Tout sélectionner
À la i-ème itération :
x <- 15.5-1.1*y     # Jusque là c'est bon
y <- 1.1*x-6        # Là ce n'est pas bon parce que x a déjà changé. La solution est                          donnée dans l'algorithme 3.



Question 3
Bah tu as déjà émis ta conjecture :
roda00 a écrit:j'ai utlise le tableur de excel pour tracer le graphique avec le point de nuage et ca avait la forme d'une croix ?

Après, un bref coup d'œil à la question suivante permet de se dire "ah, mais en fait, une croix, c'est deux droites qui se coupent !"


Questions 2-3 (après la 4)
C'est exactement un raisonnement par récurrence (la partie "hérédité" du moins). Pour avoir des notations plus claires je vais noter l'équation de la droite et l'équation de la droite .

Je regarde la question 2 par exemple. Je suppose que appartient à la droite . Bah ça veut dire que . Je veux montrer que ...


Question 4
Là tu peux étoffer un peu ta conjecture, puisque tu as les équations des droites qui forment ta croix. Puisque tu as fait la partie "hérédité" de ton raisonnement par récurrence, il reste la partie "initialisation" où tu montres que appartient bien à ta croix.

Ensuite, il suffit de conclure grâce aux questions 2 et 3...

roda00
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Re: Dm Suites Algorithmes

par roda00 » 11 Sep 2016, 16:35

Bonjour,

Merci pour l'algorithme et la conjecture j'ai compris
Pour le raisonnement par recurrence dans la Q2 et 3 je sait que le principe de recurrence est de montrer qu'une propriete est vraie pour tout entier naturel n. ici on pose une propriete P "An appartient a la droite (A0A2) " pour la partie heredite on suppose que Pn est vraie comme tu l'a dit Yn=f0(Xn) est vrai alors on montre Pn+1 est vrai Ce que je comprends pas c'est que est ce qu'on montre si An+1 appartient a (A0A2) donc Yn+1=f0(Xn+1) ou bien si An+1 appartient a (A1A3) donc Yn+1=f1(Xn+1) ?
parceque je trouve que ce n'est pas coherent si on montre la 2eme proposition ( suivant l'exemple du cours )

sinon voici ce que j'ai fait : 17.017x+2431/100y-218.79=0 <=> y=-1.75x-22.5
montrons que Yn+1=F1(Xn+1) soit
11/10Xn-6=f1(31/2-11/10Yn)
f1(31/2-11Yn)=-1.75(31/2-11/10Yn)-22.5
=-27.125+1.925Yn -22.5
= - 49.625+1.925Yn
c'est la que je bloque encore

samoufar
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Re: Dm Suites Algorithmes

par samoufar » 11 Sep 2016, 18:02

Bonjour,

Tu supposes que tu as .

Or tu as dans ton énoncé (au tout début) une formule qui donne en fonction de et une formule qui donne en fonction de . Tu peux donc transformer ces deux formules pour avoir en fonction de .

Il suffit alors de remplacer par ce que tu trouves dans et de vérifier qu'on aboutit bien à .

roda00
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Re: Dm Suites Algorithmes

par roda00 » 11 Sep 2016, 18:47

Desole si je suis tetu mais je ne comprends toujours pas !
dois je faire comme ca ?
Xn+1= 31/2-11/10*Yn
Xn= 31/2-11/10*Yn-1
Yn+1=11/10*Xn-6
Yn=11/10*Xn-1-6

samoufar
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Re: Dm Suites Algorithmes

par samoufar » 11 Sep 2016, 19:21

Je reformule mon post précédent

Tu supposes que tu as , donc

ou encore
.

Or tu as dans ton énoncé (au tout début)
et .
Tu peux donc transformer ces deux formules pour avoir
et .

Il suffit alors de remplacer dans et de vérifier qu'on aboutit bien à

ou encore

(attention toutefois à prendre les valeurs exactes de et et pas seulement ces termes approchés).

roda00
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Re: Dm Suites Algorithmes

par roda00 » 11 Sep 2016, 21:05

j'ai fais les calculs et ca n'aboutit pas a l'equation de droite de (A1A3) avec An+1
mais au lieu je trouve
44/70*Yn+1+10/11*Xn+1+1270/77=0
j'ai verifie si c'etait une autre equation de droite pour la droite (A1A3) en remplacant par les coordonnees des points A1 et A2 mais l'equation n'est pas egal a 0

 

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