Optimisation d'un trapèze

[Xaan]

Bonjour à tous, je ne sais pas bien comment qualifier cet exercice, mais il y a il me semble pas mal de fonction... c'est un DM (non noté, donc je ne viens pas ici pour les notes :lol4: juste pour moi même) j'ai fait quelque petites choses mais je bloque maintenant...

Voici l'énoncé de l'exercice dont l'objectif est : "résoudre par deux méthodes différentes un problème d'optimisation". On se doute donc que l'exercice est coupé en deux... mais pour l'instant on se contentera de la première partie^^ Je précise que je suis en série scientifique

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Un récipient a la forme d'un prisme droit dont la base est un trapèze isocèle ABCD (fig. 1)
Toutes les dimensions de ce récipient sont fixées sauf la longueur CD.
On donne AB=BC=1 et BB'=2 (l'unité étant le mètre) et on cherche la dimension à donner à la grande base [CD] du trapèze ABCD pour que le volume de ce récipient soit maximal.





1ère méthode de résolution :

On appelle H le projeté orthogonal de A sur [CD] (fig 2) et on note x à la longueur HD

1) Justifier que le réel x appartient à l'intervalle [O;1[ (là j'ai rien compris, je ne vois pas quel fonction rattacher à x pour l'intégrer dans un intervalle, est-ce que ca a à voir avec le théorème des valeurs intermédiaires ?)

2) Exprimer l'aire du trapèze en fonction de x. Puis démontrer que le volume de ce récipient en fonction de x est égal à

V(x)= 2(1+x)*(1-x²)

3) Justifier que V est dérivable sur [O;1[ et calculer V'(x)

4) Déterminer pour quelle valeur de x, le volume de ce récipient est maximal.

5) Conclure en donnant la longueur DC pour laquelle le volume est maximal.

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Et voilà ce que j'ai fait :

x = DH donc :

x²= DA²-AH² et x = (DA²-AH²)
AH² = DA²-x²
AH² = h donc : h² = 1-x² et h = (1-x²)

je sais que :

AIRE trapèze = [(B+b)*h]/2 avec B et b les deux bases du trapèze

donc B = AB (transposé) = 1
et b = AB (transposé) + 2x

or x = (DA²-AH²)
.
.
.
donc b = 1+2[(1-AH²) car DA²=(1)²=1

or : AH² = h = (1-x²)

DONC : AIRE trapèze = [ 1 + (1+2*(1-(1-x²))*(1-x²) ] /2


voilà j'espère que c'est à peu près compréhensible, c'est assez long et j'en suis qu'au début... donc à partir de là, j'aurais aimé qu'on me donne des pistes afin de poursuivre, sans me donner de réponse directement, merci beaucoup ! :jap:

ps : pour info la seconde méthode est avec la trigo, mais je verrais ca plus tard

[Ericovitchi]

tes notations ne sont pas toujours très claires et tu t'es un peu compliqué la vie.
notamment h² = 1-x² et h = (1-x²) ????
ou B = AB (transposé) = 1 ??? pas compris

disons d'abord que x est toujours inférieure à l’hypoténuse donc x<1

puis la grande base c'est 1+2x la petite base c'est 1, la hauteur c'est
donc la surface du trapèze (1 +2x + 1) /2 = (1+x) et pour avoir le volume en multiplie par BB'=2 et on trouve la formule qu'ils donnent.

[fatal_error]

salut,

alors pour les valeurs de x, comme tu l'as justifié avec pythagore, on a
x^2+AH^2=AD^2=1
t'en déduis
x^2 = 1 - AH^2

pour la borne inf, une longueur est positive, donc x>0, pour la borne sup,
si on a x>1, alors on ne peut pas respecter l'égalité
x^2+AH^2=1, car on aurait x^2 = 1+qqch avec qqch>0 et donc
qqch + AH^2 = 0, avec AH^2 qui est positif ce qui ne respecte effectivement pas l'égalité.

Ensuite pour l'aire, je sais pas ce que ca veut dire "AB (transposé)", mais sinon, la rédac est good, sauf apres quand tu commences à remplacer, ca part en live.
On te demande d'exprimer en fonction de x, donc quand tu as
b = 1+2x, ca na pas de sens de remplacer x par autre chose. Au contraire c'est contre productif, vaut mieux laisser le x!
il n'y a que h à remplacer par son expression en fonction de x.

L'aire me parait bien compliquée...
B = 1, b = 1+2x, h=sqrt(1-x^2)...

PS : c'est une très bonne initiative que d'écrire en francais, mettre un schéma, recopier l'énoncé et écrire ce que tu as déjà fait!
Mension spéciale pour la réécriture des formules avec les lettres au lieu de remplacer directos par les valeurs numériques :)


edit : grilled. grrrrr :mad2:

[Xaan]

je viens juste de voir vos réponses ! merci beaucoup à tous les 2 ! :++:

oui je me suis un peu emmêlée les pattes en voulant en faire trop avec les x, mais bon je ne savais pas bien où aller^^

merci pour la 1ère question, je n'avais pas pensé à ca, et donc oui pour l'aire c'est beaucoup + simple. Par contre petite question à Ericovitchi : pour l'aire, il ne faut pas diviser par 2 racine(1-x²) ? tu as simplifié par deux la première partie mais la deuxième tu n'as rien fais pourquoi ? Ah peut-être parce que c'est une multiplication ? Mais ca me fait bizarre quand même^^

merci Fatal-Error même si tu t'es fait "grilled" tu m'a été utile^^ et merci pour le petit PS, je trouve ca normal, déjà que vous aider des dizaines de personnes par jour au moins que la rédac des exercices soit correcte =)

[Ericovitchi]

(1 +2x + 1) /2 = (1+x) ça ?

(1 +2x + 1) /2 = (2+2x) /2 = 2(1+x) / 2 = (1+x)
les 2 se simplifient

[Xaan]

d'accord ! merci =)