Exercice second degré 1S

[Ben314]

Moi, je suis plutôt comme Chan, je trouve ça pas mal : les inéquation à résoudre sont parfaitement "dans les clous" de ce qui exigible pour un étudiant de 1ère et la façon dont l'énoncé est formulé demande un peu de réfléchir (mais pas trop trop) pour que l'élève trouve lui même quelle sont les inéquation qu'il doit résoudre.

L'autre truc que je trouve pas mal du tout, c'est qu'ils doivent résoudre des inéquations dont ils connaissent d'avance les solution (R tout entier dans les deux cas) donc que s'ils ont un peu de bon sens, il doivent facilement repérer s'ils ont fait une erreur de calcul.

Sinon, "sans rien voir", donc a priori avec un paramètre m à la place du -1 ou du 4, c'est bien aussi (voire mieux), mais vu le niveau actuel, j'aurais bien peur que ce soit un poil "chaud" sans de nombreuses question préliminaires qui mâchent le travail (j'ai pas vu souvent d'équation du second degré avec un paramètre sur le Forum)

[Razes]

Procédons autrement, soit , cherchons , tel que .

D’où l'équation:


Nous obtenons une équation du second degré en .
Calculons le discriminant pour étudier l’existence de .
; il n y a donc des solutions que pour:

Nous avons donc:
; d'où CQFD

[Ben314]

Ca marche aussi, mais au niveau des calculs effectués, c'est fondamentalement les mêmes que si on cherche à résoudre l'inéquation f(x)<=y ou bien f(x)>=y.
La seule (mini) différence, c'est, une fois le discriminant (en y) calculé, l'interprétation que tu va faire du fait qu'il est <0 : dans le cas d'une équation, tu va en déduire que le trinôme ne s'annule jamais et dans le cas d'une inéquation tu va en déduire qu'il est de signe constant (donc que l'inégalité est soit vraie pour tout x, soit vraie pour aucun).

Par contre, si tu veut que ce soit parfaitement correct mathématiquement parlant, que ce soit dans le cas où tu traite l'égalité f(x)=y ou une des inégalité f(x)>=y ; f(x)<=y, tu doit absolument traiter à part le cas où y=0 vu que dans ce cas là ton expression en x et y n'est pas du second degré en x donc que le calcul d'un quelconque discriminant n'a pas de sens (par exemple, ta prose pourrait laisser pense que, lorsque -(7y-25)(y+1)>0 le réel y admet deux antécédents par f alors que c'est faux pour y=0 qui n'a qu'un seul antécédent)

[Razes]

L'équation étant:

Effectivement, j'avais oublié de dire que pour , notre équation serait du premier degré et qu'on a pas besoin de calculer le discriminant car l'équation deviendrait ;

Le cas aussi pour correspondant aux points extremums, dans ce cas nous avons un seul antécédent.

[zygomatique]

je suis bien d'accord avec ton avant dernier post et comme je le disais avant toi : il y a maintenant des outils qui permettent de prévoir la réponse : autant en profiter pour gagner du temps et exercer sa réflexion sur la vérification effective de ce qu'on voit .... en résolvant des inéquations qui sont du niveau de première

pour ce qui suit et la méthode de razes (et ton commentaire qui suit) si on traduit bien l'énoncé correctement ce qui est demandé c'est tout simplement :

montrer qu'il existe deux réels a et b tels que pour tout réel x : et

c'est pourquoi je rejoins ben314 : ce n'est pas tant f(x) = y qu'il faut résoudre que f(x) =< y (ou f(x)>= y)

toute la difficultés réside alors à déterminer ces valeurs a et b (soit par une "recherche expérimentale" soit par une recherche "plus mathématique" que beaucoup de jeunes ont maintenant des difficultés à mener de façon autonome et sans aide)

une recherche plus minimaliste (même si elle est donnée dans l'énoncé pour une part: ensemble de définition de f) c'est que :

1/ f est définie sur R et donc le dénominateur garde un signe constant : il est (strictement) positif)

2/ en additionnant numérateur et dénominateur on obtient qui a le bon gout d'être le double d'un carré ....

3/ la chance sourit donc aux audacieux .... et c'est fini ...

[cheaasy]

- La première, plus simple commence par une petite "triche" consistant à dire que, au vu de la courbe, il semblerait bien que f(x)>=-1 pour tout x. Pour confirmer cette "conjecture", tu résout par du calcul l'inéquation f(x)>=-1 (avec les procédés usuel de résolution d'inéquations) et tu vérifie qu'effectivement, l'ensemble des solution est bien égal à R tout entier.
Tu fait ensuite de même en conjecturant à l'aide de la courbe que f(x)<=4 (par exemple) pour tout réel x, puis tu le démontre proprement en résolvant l'inéquation f(x)<=1.

Je bloque à la résolution de l'inéquation >=-1 , je rajoute 1 à f(x) et fait = 0 ???