Continuité & dérivation & Limite

[Hurykhan]

Bonjour,

Pour m'entrainer je cherche à faire quelques exos corrigés de mon bouquin, cependant, n'ayant que le résultat final, il m'arrive de ne pas savoir comment l'obtenir.

Déterminer les limites:
- En + inf:

cos(x) / ( x + 1 )

- En 1 de:

( (Racine de x ) - 1 ) / ( x - 1 )

- En 0 de :

(( Racine de x+1 ) -1 ) / ( x^2 - x )


Dans un autre exercice, j'ai :

f ( x ) = ( 1 - cos ( x ) ) / x si x différent de 0
et f ( 0 ) = 0

1/ F est elle continue?

Là, je dois calculer f ( 0 ), et trouver 0 ...
Je dois donc arriver à sin ( 0 )
cependant, je ne trouve pas la méthode !!!

J'ai peut-être une idée:
f ( x ) = ( cos 0 - cos x ) / ( x - 0 )
Lim quand x tend vers 0, revient à f ' ( 0 ) , non?
Mais, f ' ( x ) = ( x sin x - 1 + cos x ) / x ^2
Et f ' ( 0 ) = 0 , seulement, on divise par 0, est-ce possible?

Merci de vos conseils

[Noemi]

Pour les limites :
a) Comment varie cos x ?
b) Factorise le dénominateur
c) Multiplie par l'expression conjuguée du numérateur

Pour la continuité l'idée est bonne mais pas son utilisation.
revois la définition de la dérivée.

[Florélianne]

Bonjour
Déterminer les limites:
- En + inf: cos(x) / ( x + 1 )
nous savons que -1 0- et 1/(x+1) --> 0+
donc cosx/ (x+1) --> ?

- En 1 de: (Vx - 1 ) /( x - 1 )
comme x [u]> 0 (x - 1) = (Vx)² - 1² = (Vx -1)(Vx +1)
on simplifie par (Vx -1) on obtient : 1/(Vx + 1)
quand x--> 1 Vx + 1 --> ? donc 1/(Vx +1) --> ?

- En 0 de : [V(x+1 ) -1] )/( x² - x )
x² - x = x(x -1)
soit u = x+1 x = u -1
[V(x+1) -1]/(x(x-1) = (Vu -1)/(u-1)(u-2)

x+1 > 0 donc x > -1 donc u> 0
(u-1) = (Vu)² - 1 = (Vu +1)(Vu -1)
(Vu -1)/(u-1)(u-2) = 1/(Vu +1)(u-2)

quand x--> 0 u--> 1
1/(Vu +1)(u-2) --> ?
donc quand x --> 0 , [V(x+1 ) -1] )/( x² - x ) --> ?

Dans un autre exercice, j'ai :
f ( x ) = ( 1 - cos x ) / x si x différent de 0
f ( 0 ) = 0
1/ F est elle continue?
"Là, je dois calculer f ( 0 ), et trouver 0 ...
Je dois donc arriver à sin ( 0 )
cependant, je ne trouve pas la méthode !!!"

soit u = x/2 ou x = 2u
cosx = cos2u = cos²u-sin²u = 1- 2sin²u

donc f(x) = [1-(1-2sin²u)]/x= -2sin²u /2u= - sin²u /u = (-sinu)(sinu /u)

quand x --> 0 ; u=2x --> 0 ; sinu /u --> 1
et -sinu --> 0 donc f(x) --> ?

Bonne poursuite de ton travail
Très cordialement

[Hurykhan]

Merci FLorélianne !
J'ai tout compris !

Mais y aurait il une technique générale pour trouver ces limites?
J vois qu'à chaque fois, vous utilisez un " u" qui remplace une partie de l'expression factorisée..
M'enfin, merci pour tout !