Arithmétique

[kadaid]

Bonjour
a,n et m entiers naturels, a>=8
Démontrer par récurrence que tout a >=8, peut s'écrire: a=3n+5m

9=3*3+5*0
10=3*0+5*2
11=3*2+5*1
etc...

la propriété est vraie aux premiers rangs
Supposons la propriété vraie pour tout a>=8
a+1=3n+5m+1
a+1=3n+5m-3*3+5*2
a+1=3(n-3)+5(m+2)

n-3>=0 que si n>=3, hors cette condition n'est pas mentionnée dans l'énoncé!
ma démarche, est elle correcte ou est ce que je suis sur une mauvaise piste ?
En plus c'est la première fois que je vois ce genre de récurrence!

Merci pour vos commentaires

[Monsieur23]

Aloha,

Effectivement, tu as résolu la question si n>2. Tu peux faire "à la main" les cas n=0, n=1 et n=2 : je te fais le premier.

Si n=0, alors a = 5m, et donc m > 1 (car a >= 8).
Alors a+1 = 5m+1 = 5(m-1) + 6 = 2*3+5*(m-1).
Comme m > 1, m-1 > 0.

Il te reste n=1 et n=2 à faire.

[Ben314]

Ou bien :
Si a=3n+5m alors
1) a+1=3n+5m+1=3(n+2)+5(m-1) qui marche à condition que m>=1
2) a+1=3n+5m+1=3(n-3)+5(m+2) qui marche à condition que n>=3

Pour qu'aucune des deux méthodes ne marche, il faut que m=0 et n<=2 donc a=3n+5m<=6.
Or on a "amorcé" la récurrence avec a=8.

[chan79]

Autre approche, sans récurrence:

si a=3k alors a=3k+5*0

si a=3k+1 alors a=3(k-3)+5*2
comme 3k+1>=8, k>=7/3 donc k>=3 et k-3 est positif

si a=3k+2 alors a=3(k-1)+5*1
comme 3k+2>=8, k>=2 donc k>1 et k-1 est positif

[kadaid]

Merci à vous tous, j'ai compris vos explications.
Il fallait pas perdre de vue que a doit être supérieur ou égale à 8