Sans lever le crayon

[Nightmare]

Hello,

je reprends une question que je me pose suite à un post de Sylviel.

La propriété de pouvoir "tracer une courbe sans lever le crayon" décrit souvent le phénomène de continuité. Pourtant, avec un peu de recul, j'ai bien l'impression que cela traduit plutôt la propriété des valeurs intermédiaires (qui n'est pas équivalente à la continuité !).

Votre avis?

[Anonyme]

Peut on tracer une courbe discontinue sans lever le crayon ?

[Ben314]

Honètement, je sais pas trop : si on me demande si je peut tracer "sans lever le crayon" la courbe de sin(1/x) sur ]0,+oo[ ou bien une courbe de péano, voire une courbe strictement croissante dont la dérivée est nulle presque partout, ben je me pose surtout la question de savoir si... la question à un sens...

[beagle]

Je ne connais pas la propriété des valeurs intermédiaires,
mais il me semble comprendre qu'en traçant une courbe on va de patés en patés, on déplace des patés.
Cela dans le sens de la courbe.
Parce que dans l'autre sens de la courbe, il n'est pas logique de pouvoir voir le tracé.
En épaisseur de courbe, pourquoi voit-on cette courbe? Elle devrait ètre tracée de façon à ce qu'on ne la voit pas, non?

PS: réponse permise au forum café?Ou création d'un forum digestif?Réponse en levant le coude?

[beagle]

Pour essayer de comprendre Ben:
http://serge.mehl.free.fr/anx/special_sin.html

Peano sur gogol

[beagle]

Il faut réviser le théorème de Darboux avant de répondre ou bien c'est pas nécessaire?
De mon temps on bossait ça en seconde je crois.

[Ben314]

Pour la courbe de Peano : je suis sympa : je te fait un dessin (le plus précis posssible) :

(la courbe de Peano est en rouge sur le dessin... :ptdr: )

[benekire2]

Et bien la courbe de Péano m'a sacrément choqué personellement , je trouve que ça enlève le sens "visuel" que je donnait à la notion de "courbe" ou plutôt de support d'une courbe paramétrée. :doh:

[beagle]

Pour la courbe de Peano : je suis sympa : je te fait un dessin (le plus précis posssible) :

(la courbe de Peano est en rouge sur le dessin... :ptdr: )

:ptdr: :ptdr:
j'avais aperçu le malaise sur gogol, mais là c'est encore plus clair bien que rouge foncé.
pour darboux c'est pas vrai du tout, j'ai juste fait le mytho que dans le temps on bossait vachement,
mais des gens vont prendre ça au premier degré, je dis stop tout de suite.

[Ben314]

Et bien la courbe de Péano m'a sacrément choqué personellement , je trouve que ça enlève le sens "visuel" que je donnait à la notion de "courbe" ou plutôt de support d'une courbe paramétrée. :doh:

O.K., mais il ne faut tout de même pas oublier que, bien que continue, la "courbe" n'est nulle part dérivable, ni même Lipschitzienne sur un quelconque intervalle, ce qui, par rapport à l'idée "naïve" de "courbe" ne colle pas vraiment.
A mon sens (mais... ça se discute), l'idée "naïve" correspond au minimum à "C1 par morceaux" : quelques angles, (mais... pas trop) et des dérivées à droite et à gauche en ces points anguleux.

[Sylviel]

Je dirais même par morceau... On peut jeter un oeil sur la topologie modérée, assez peu étudier à vrai dire, pour avoir une idée de courbes "naturelles".

[benekire2]

O.K., mais il ne faut tout de même pas oublier que, bien que continue, la "courbe" n'est nulle part dérivable, ni même Lipschitzienne sur un quelconque intervalle, ce qui, par rapport à l'idée "naïve" de "courbe" ne colle pas vraiment.
A mon sens (mais... ça se discute), l'idée "naïve" correspond au minimum à "C1 par morceaux" : quelques angles, (mais... pas trop) et des dérivées à droite et à gauche en ces points anguleux.

Oui je suis d'accord ( bien que je sache pas trop comment m'y prendre pour montrer la non dérivabilité de cette fonction limite ... peut être en trouvant les dérivées a droite et à gauche ? Ca s'annonce tendu. ) mais ça n'enlève rien au "mystère" :we:

[Nightmare]

Bon,

j'accorde beaucoup de crédit à la réponse de Ben qui précise ce qui devait être précisé, à savoir que la notion de "tracé" n'est pas aussi évidente qu'on pourrait le croire. Tout de même, je tiens à préciser ma question qui en effet était aussi clair que la notion dont elle fait référénce.

Je tiens à distinguer, comme on le fait en physique, ce qui est pratique et théorique ! Quand je parle de "tracer sans lever de crayon", j'entends un tracé théorique, à savoir qu'on imagine un mouvement "continu" (... le mot n'est du coup peut être pas le bon!) du crayon, sans pour autant être effectivement réalisable dans la pratique. Tracer la courbe de Peano, c'est dans la pratique impossible, mais théorique, on est censé pouvoir le faire sans lever le crayon.

Ma question est donc la suivante : la courbe qui provient de l'encre issue d'un tel mouvement "continu" du crayon traduit-elle vraiment la propriété de continuité, ou la propriété des valeurs intermédiaires?

La question n'est pas anodine, intuitivement, dire qu'on le lève pas le crayon, c'est dire qu'il n'y a pas de valeurs qu'on "saute", et ça, c'est exactement les valeurs intermédiaires. Cela étant, nous sommes aussi d'accord que les cas pathologiques, à savoir les fonctions qui vérifient le TVI en étant discontinue partout, sont assez "abstraites" pour ne pas pouvoir y définir la notion de tracé au crayon.

Edit : "l'encre [...] du crayon" . Je sors d'un dîner de famille arrosé, ceci explique surement cela.

[Ben314]

OK, sauf que, la fonction "de référence" qui vérifie le théorème des valeurs intermédiaires mais n'est pas continue, pour moi, c'est f(x)=sin(1/x) pour x non nul et f(0)=0.
Bon, O.K. elle vérifie le TVI, mais, par contre, son graphe, bien que connexe, n'est pas connexe par arc et, pour moi, ça représente quand même une belle obstruction au fait de "tracer la courbe sans lever le crayon" : si au départ le crayon est en (0,0), tu commence par faire quoi comme mouvement ?

@Bene : pour la non dérivabilité de la courbe de Peano, il y a certe un problème "d'angle" (i.e. que les direction prises en to+ et en to- risque de ne pas coïncider) mais surtout un problème de "vitesse", c'est à dire que si tu cherche à calculer la "vitesse instantanée" (i.e. la norme du vecteur vitesse) en un point quelconque, ben tu trouve +oo systématiquement. C'est tout à fait normal du fait que gamma est parcourue "à vitesse constante" et qu'en un temps fini (t est dans [0,1]) la courbe parcours clairement une distance infinie !!!

[Nightmare]

"connexité par arcs". Tiens, c'est une autre alternative...

Bon de toute façon, je suppose que ma question n'attend pas de réponse convainquante. Tu as assez bien résumé ce qu'il se passait sur les cas pathologiques. Continuité, TVI, connexité, tout ceci parle de la même chose tout en étant différent et il est assez clair que l'idée intuitive qu'on se fait de la "courbe" n'est pas assez précisément définie pour donner suffisemment de sens à la notion de tracé.