Inclusion Sympa ! :S

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dr-death
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Inclusion Sympa ! :S

par dr-death » 19 Oct 2010, 00:37


salut a vous tous j'ai a montrer que :

Soient A et B deux parties de E, Montrer que :

(A n Fr(B)) U (B n Fr(A)) C Fr(A n B) C (A n Fr(B)) U (B n Fr(A)) U (Fr(A) n Fr(B))


Et donne un exemple dans lequel ces trois ensembles sont distincts

Merci



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Ben314
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par Ben314 » 19 Oct 2010, 00:48

Salut,
Sauf erreur, sans autres hypothèses, c'est faux.
Par exemple, dans R, si A=[0,1] et B=]1,2[ alors AnFr(B)={1} qui n'est pas inclu dans Fr(AnB) vu que cet ensemble est vide...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

dr-death
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par dr-death » 19 Oct 2010, 01:01

Ben314 a écrit:Salut,
Sauf erreur, sans autres hypothèses, c'est faux.
Par exemple, dans R, si A=[0,1] et B=]1,2[ alors AnFr(B)={1} qui n'est pas inclu dans Fr(AnB) vu que cet ensemble est vide...



euhhh ! alors le devoir est tombé dans leau ou koi ! :p

j'ai déja essayé mai ça na pa marché !

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Ben314
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par Ben314 » 19 Oct 2010, 01:11

Vu le contre exemple çi dessus, tu t'aurait pas une petite hypothèse concernant A et B (par exemple tout les deux ouverts ou tout les deux fermés) ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

dr-death
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par dr-death » 19 Oct 2010, 01:16

Ben314 a écrit:Vu le contre exemple çi dessus, tu t'aurait pas une petite hypothèse concernant A et B (par exemple tout les deux ouverts ou tout les deux fermés) ?


Ahhh oui je l'ai ajouté avec le stylo et j'ai oublié de ldire !

ils sont ts les deux ouverts !


MERCIIII

arnaud32
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par arnaud32 » 19 Oct 2010, 12:05

Tout d'abord:
fr(U) = Ad(u)\Int(U)
quand U est ouvert, Int(U)=U et fr(U) = Ad(U) n Comp(U)


premiere inclusion:
soit x dans A n fr(B) = A n Ad(B) n Comp(B)
soit V un voisingage ouvert de x
x etant dans AnV qui est ouvert tu as un ouvert O contenant x et inclus dans A n V
comme x est dans Ad(B), O n B est non vide.
soit y dans OnB, y est dans B, A et V
ce qui prouve que Vn(AnB) est non vide, et que x est adherent a AnB.
or x est dans Comp(B) donc x n'est pas dans AnB.
x est donc dans Ad(AnB)nComp(AnB) = Fr(AnB)
ie A n fr(B) C Fr(AnB)

pareil en echangeant A et B.
B n fr(A) C Fr(AnB)
et donc pour l'union: (A n fr(B)) u (B n fr(A)) C Fr(AnB)



deuxieme inclusion:
soit x dans Fr(AnB) = Ad(AnB) n Comp(AnB)
x etant dans Ad(AnB) C Ad(A) n Ad(B)
si x est dans A, x etant dans Ad(B) et dans Comp(AnB) C Comp(B); x est dans A n Fr(B)
si x est dans B on a de meme x dans B n Fr(A)
si x n'est ni dans A, ni dans B ie dans Comp(A) n Comp(B).
x etant dans Ad(AnB), pour tout voisinage ouvert V de x, AnBnV est non vide.
donc x est dans Ad(A) n Ad(B) et dans Comp(A) n Comp(B) n Ad(A) n Ad(B) = Fr(A) n Fr(B)

donc Fr(AnB) C (A n Fr(B)) U (B n Fr(A)) U (Fr(A) n Fr(B))

cqfd.

pour l'exemple de non egalite:
tu prends
A = ]0,1[x]0,1[ U ]0,2[x]1,2[
B = ]1,2[x]0,1[ U ]0,2[x]1,2[

Fr(A) ={0}x[1,2] U [1,2]x{2} U {2}x[1,2] U [1,2]x{1} U {1}x[0,1] U [0,1]x{0}
Fr(B) ={2}x[1,2] U [1,2]x{2} U {0}x[1,2] U [0,1]x{1} U {1}x[0,1] U [1,2]x{0}

(A n Fr(B)) = ]0,1[x{1}
(B n Fr(A)) = ]1,2[x{1}

(A n Fr(B)) U (B n Fr(A)) = ( ]0,1[ U ]1,2[ ) x{1}

AnB = ]0,2[ x ]1,2[

Fr(AnB) = {0}x[1,2] U [0,2]x{2} U {2}x[1,2] U [0,2]x{1}

et (A n Fr(B)) U (B n Fr(A)) U (Fr(A)nFr(B))= Fr(AnB) U {1}x[0,1]

(avec un dessin ca se voit mieux :-))

dr-death
Membre Naturel
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par dr-death » 20 Oct 2010, 02:11

arnaud32 a écrit:pour l'exemple de non egalite:
tu prends
A = ]0,1[x]0,1[ U ]0,2[x]1,2[
B = ]1,2[x]0,1[ U ]0,2[x]1,2[

Fr(A) ={0}x[1,2] U [1,2]x{2} U {2}x[1,2] U [1,2]x{1} U {1}x[0,1] U [0,1]x{0}
Fr(B) ={2}x[1,2] U [1,2]x{2} U {0}x[1,2] U [0,1]x{1} U {1}x[0,1] U [1,2]x{0}

(A n Fr(B)) = ]0,1[x{1}
(B n Fr(A)) = ]1,2[x{1}

(A n Fr(B)) U (B n Fr(A)) = ( ]0,1[ U ]1,2[ ) x{1}

AnB = ]0,2[ x ]1,2[

Fr(AnB) = {0}x[1,2] U [0,2]x{2} U {2}x[1,2] U [0,2]x{1}

et (A n Fr(B)) U (B n Fr(A)) U (Fr(A)nFr(B))= Fr(AnB) U {1}x[0,1]

(avec un dessin ca se voit mieux :-))


Merci bcp pour cet exemple mais jusqu'a maintenant on a jamais fai en classe U ou n d'un ExF ni Fr( E xF ) je sais pas comment on pourra la trouver ! alors si c'étai possible : un exemple plus facile :help:

arnaud32
Membre Irrationnel
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par arnaud32 » 20 Oct 2010, 09:59

bonjour,
tu peux utiliser:

A=]0,2[
B=]0,1[ U ]2,3[
qui sont deux ouverts avec

Fr(A)= {0,2}
Fr(B) = {0,1,2,3}

AnFr(B) = {1}
BnFr(A) = vide

AnFr(B) U BnFr(A) = {1}

AnB = ]0,1[
Fr(AnB) = {0,1}

AnFr(B) U BnFr(A) U Fr(A)nFr(B) = {1} U {0,2} = {0,1,2}

dr-death
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par dr-death » 20 Oct 2010, 16:24

arnaud32 a écrit:


Merci bcp, ça marche !

Nightmare
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par Nightmare » 20 Oct 2010, 16:26

dr-death a écrit:Merci bcp pour cet exemple mais jusqu'a maintenant on a jamais fai en classe U ou n d'un ExF ni Fr( E xF ) je sais pas comment on pourra la trouver ! alors si c'étai possible : un exemple plus facile :help:



Salut, ExF et Fr(ExF) sont des ensembles comme les autres, et tu as surement dû définir en cours les symboles d'union et d'intersection sur des ensembles quelconque, donc en particulier, sur des produits cartésiens. A ton niveau, il faut aller au delà de ce qui est fait explicitement en cours !

 

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