Inclusion

[Percolaptor]

Bonsoir
J'aimerais savoir quel est l'espace le plus grand entre K(corps), E(espace vectoriel de dim n), (E,N) (evn de dim n muni de la norme N) , K^n, K[X] ?
Deja lorsque la dimension est plus grande, l'espace est forcément plus grande non ?

Merci d'avance :we:

[Nightmare]

Bonsoir,

qu'est-ce que tu entends par "plus grand" ?

[Percolaptor]

Bonsoir
C'est qui est inclu dans l'autre. Par exemple E est inclu dans (E,N).
Sinon je sais que la norme implique la distance ( (E,N) a plus de structure que (E,d) ) donc (E,d) est inclu dans (E,N). C'est ça?

[kazeriahm]

l'inclusion est une relation d'ordre sur l'ensemble des parties d'un ensemble donné.

Plus clairement, pour parler d'inclusion, tu dois avoir un espace général, A par exemple. Alors pour deux sous ensembles B et C de A, on dit que B est inclus dans C si tout élément de B appartient à C.

On se fiche ici de toute structure présente sur les ensembles (norme, distance, structure algébrique). Par exemple, il n'y a pas, formellement, de sens à vouloir comparer E et (E,N). D'un point de vue ensembliste, (E,N)"="E (encore que, comme déjà dit, cela n'a pas beaucoup de sens).

Après toute espace normé est un espace métrique. Cela ne se traduit pas par "(E,d) inclus dans (E,N)" pour les mêmes raisons.

Sinon pour revenir au problème initial, on peut dire que K est inclus dans E (à un plongement près, en fait formellement K et E ne sont pas constitués des mêmes objets), que K^n=E (en fait K^n est isomorphe à E) et que K^n (et donc E) est inclus dans K[X], toujours à plongement/isomorphisme près.

[Percolaptor]

Bonsoir,
lorsque tu parles de plongement, est ce la meme idée que de raisonner sur les dimensions? comme dim(K)=1 et dim(E)=n. K est inclut dans E. D'ailleurs la dimension de K[X] c'est +oo ?

[SimonB]

Bonsoir,
lorsque tu parles de plongement, est ce la meme idée que de raisonner sur les dimensions? comme dim(K)=1 et dim(E)=n. K est inclut dans E.

Non, K n'est formellement pas inclus dans E (si n est plus grand que 1). Par exemple, si ton corps de base c'est , et n=2, tu ne peux pas dire formellement . Par contre, tu peux définir une injection canonique du premier dans le second : à tout nombre réel x, tu associes le vecteur (x,0) de . Je te laisse montrer que c'est une injection (ce doit d'ailleurs être dans ton cours...), et ceci prouve que du point de vue d'espaces vectoriels, le corps de base est plus "petit" que ton espace... si tu définis "petit" comme "il existe une injection linéaire de l'un dans l'autre".

D'ailleurs la dimension de K[X] c'est +oo ?

Oui, mais ça n'a pas grand chose à voir !

[Percolaptor]

ok merci !
Si j'ai bien compris, lorsque je dis que la norme implique la distance, c'est mieux d'avoir un evn qu'un espace métrique puisque c'est plus fort ?

Il y a aussi que le produit scalaire implique la norme non? Ca veut dire que tous les produits scalaires on peut l'écrire sous forme de norme?

D'ailleurs si on veut passer de la norme au produit scalaire, on utilise la norme euclidienne(norme 2)? Ca veut dire que les autres normes (norme 1, norme n, norme infini..), on ne peut pas passer en produit scalaire ?

[Percolaptor]

une réponse svp :we:

[fatal_error]

Salut,

Voila un petit lien pour le produit scalaire : les espaces euclidiens

[SimonB]

Si j'ai bien compris, lorsque je dis que la norme implique la distance, c'est mieux d'avoir un evn qu'un espace métrique puisque c'est plus fort ?

Je ne sais pas ce que tu appelles "mieux", mais c'est sûr que c'est plus fort, oui (la norme donne une métrique, mais une métrique n'est pas forcément issue d'une norme).

Il y a aussi que le produit scalaire implique la norme non? Ca veut dire que tous les produits scalaires on peut l'écrire sous forme de norme?

D'ailleurs si on veut passer de la norme au produit scalaire, on utilise la norme euclidienne(norme 2)? Ca veut dire que les autres normes (norme 1, norme n, norme infini..), on ne peut pas passer en produit scalaire ?

Globalement, c'est l'idée. Le produit scalaire te donne une norme, mais comme pour la dualité normemétrique, toute norme n'est pas issue d'un produit scalaire.