Géométrie avec les vecteurs

[Anonyme]

Bonsoir à toutes et à tous,

Dans un magazine de mathématiques, je lis un article sur les vecteurs et je voudrais
savoir si quelqu'un a une idée de ce que l'auteur (Benoît Rittaud) entend quand il dit :
"il n'est pas possible de multiplier des vecteurs entre eux de façon algébriquement
satisfaisante...(sauf dans trois cas : pour une [càd quand tous les vecteurs sont portés
par une même droite], deux ou quatre dimensions [bien que la multiplication des
quaternions (?) ne soit pas commutative]...)"

Que signifie l'expression "algébriquement satisfaisante " ? Par exemple, que manque-t-il à
un produit de deux vecteurs dans un espace à trois dimensions pour ne pas être qualifié
"d'algébriquement satisfaisant" ?

Merci de bien vouloir m'éclairer.

En fait, j'aurais un tas de questions à poser sur la géométrie avec les vecteurs, que j'ai
du mal à assimiler. Des questions qui peuvent finalement se résumer en une seule : la
géométrie avec les vecteurs se suffit-t-elle à elle-même ou a-t-elle besoin parfois de se
reposer sur les théorèmes de la géométrie classique pour pouvoir exister ? Par exemple :
la géométrie vectorielle est-elle capable de "produire par elle-même" des théorèmes aussi
essentiels que le théorème de Pythagore ou de Thalès ?

Encore une fois, merci de me répondre.

Gibbs.

[Anonyme]

"Gibbs" a écrit dans le message de news:
> Que signifie l'expression "algébriquement satisfaisante " ? Par exemple,
que manque-t-il à
> un produit de deux vecteurs dans un espace à trois dimensions pour ne pas
être qualifié
> "d'algébriquement satisfaisant" ?


Je pense qu'il veut dire qu'il n'est pas possible de multiplier les vecteurs
entre eux de manière à former un ensemble algébrique "connu" (groupe,
anneau, corps, algèbre, espace vectoriel, idéal, etc..) ce genre de choses.
Y'a toujours des problèmes d'élement neutre, ou de diviseur de zéro;ce genre
de trucs quoi..

[Anonyme]

> Que signifie l'expression "algébriquement satisfaisante " ? Par exemple,
que manque-t-il à
> un produit de deux vecteurs dans un espace à trois dimensions pour ne pas
être qualifié
> "d'algébriquement satisfaisant" ?

Je pense qu'il cherche une application de R^n x R^n dans R^n qui soit
bilinéaire, avec un élément neutre, associative et sans diviseurs de 0. Dans
ce cas, on a juste les trois situations décrites. Si on enlève
l'associativité, on a un cas supplémentaire, en dimension 8.

--
Maxi

[Anonyme]

>
> En fait, j'aurais un tas de questions à poser sur la géométrie avec les
> vecteurs, que j'ai du mal à assimiler. Des questions qui peuvent finalement
> se résumer en une seule : la géométrie avec les vecteurs se suffit-t-elle à
> elle-même ou a-t-elle besoin parfois de se reposer sur les théorèmes de la
> géométrie classique pour pouvoir exister ? Par exemple : la géométrie
> vectorielle est-elle capable de "produire par elle-même" des théorèmes aussi
> essentiels que le théorème de Pythagore ou de Thalès ?
>
> Encore une fois, merci de me répondre.
>
> Gibbs.
J'ai un livre de 1964 de JeanDieudonné qui s'appelle algèbre linéaire
es géométrie élémentaire. L'objectif de l'auteur est justement de
montrer que toute la géométrie élémentaire peut -être fondée et
développée avec les vecteurs. Maintenant il faut quand même savoir que
les maths cela n'existe pas dans la nature mais que c'est une sécrétion
du cerveau humain qui résulte entre autre des des informations fournies
par ses sens.
Il me semble donc que le puissant outil que constitue les vecteurs ne
peut pas être la seule composante de la formation en géométrie.(C'est
pas vieux 1850 environ et dans l'enseignement 1950)Blaise Pascal par
exemple n'utilisait pas les vecteurs et présentait des problèmes assez
compliqués avec les coniques.
Cependant à partir de la première ce doit être l'outil maitrisé et
privilégié
Avec les vecteurs, Pythagore et Thalès sont des trivialité!
Relation de chasles etCarré scalaire d'une somme pout Pytha et relation
de Chasle et qualité de la multiplication d'un vecteur par un nombre
pour Thalès.
En infographie par exemple sans les vecteurs et les matrices on serait
mal!!

Allez, courage!Fais beaucoup d'exercice et n'oublie pas de faire des
dessins pour voir.