Exercice utilisant la fonction tangente

[toto_tom]

Bonjour, je poste cet exercice mais j'aimerais juste qu'on me confirme si mes résultats sont bons ou si j'ai des erreurs.

Soit la fonction f définie par f(x)=tanx - x sur ]-pi/2;pi/2[.

1)Etudier le sens de variation de f sur ]-pi/2;pi/2[.

DOnc j'ai d'abord étudié la dérivabilité.
On peut écrire f(x)=(sinx/cosx) - x.
Donc les fonctions sinx et cosx sont déribables sur Df et cos différent de 0 donc par quotient c'est dérivable.
La fonction qui à x associe -x est dérivable aussi sur Df donc par addition f est dérivable sur Df.


f'(x)=tan²x ou (1/cos²x)-1.

La fonction tangente est pi-périodique, or f'(x)>0 sur [0;pi/2[, donc f'(x)>0 sur Df et f est strictement croissante sur Df.

2) Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur ]-pi/2;pi/2[ et déterminer cette solution.

On sait que f est dérivable donc elle est continue sur cet intervalle, de plus elle est strictement croissante.

Alors pour l'intervalle image, c'est là que j'hésite un peu dans les valeurs à prendre, je me suis aidé de la calculette :


f(-0,05)=-4.10 puissance -5
f(0,05)=4,2.10 puissance -5

f(-0,05) plus petit ou égal à 0 plus petit ou égal à f(0,05)
or f est croissante donc
-0,05 plus petit ou égal à 0 plus petit ou égal à 0,05

donc selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, 0 est l'unique solution à l'équation f(x)=0.

Dites-moi si j'ai bien fait, merci!

Enfin la question 3) En déduire la position relative de la courbe de la fonction tangente et de sa tangente au point d'abscisse 0.

L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est y=0.
Or, l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur ]-pi/2;pi/2[ qui est 0, donc f et sa tangente au point d'abscisse 0 sont confondues.


Merci d'avance pour vos remarques

[flaja]

Bonsoir.

Soit la fonction f définie par f(x)=tanx - x sur ]-pi/2;pi/2[.

1)Etudier le sens de variation de f sur ]-pi/2;pi/2[.

DOnc j'ai d'abord étudié la dérivabilité.
On peut écrire f(x)=(sinx/cosx) - x.
Donc les fonctions sinx et cosx sont déribables sur Df et cos différent de 0 donc par quotient c'est dérivable.
---> le donc souligné n'est pas utile puisqu'il n'y a pas de déduction
La fonction qui à x associe -x est dérivable aussi sur Df donc par addition f est dérivable sur Df.


f'(x)=tan²x ou (1/cos²x)-1.

La fonction tangente est pi-périodique, or f'(x)>0 sur [0;pi/2[, donc f'(x)>0 sur Df et f est strictement croissante sur Df.
---> 0 1/cos²x >= 1 => f'(x) >= 0
Pour x = 0 cos(x)=1 et f'(x)=0 : inflexion horizontale
f'(x) > 0 et s'annule en un seul point donc f(x) est strictement croissante.

2) Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur ]-pi/2;pi/2[ et déterminer cette solution.

On sait que f est dérivable donc elle est continue sur cet intervalle, de plus elle est strictement croissante.

Alors pour l'intervalle image, c'est là que j'hésite un peu dans les valeurs à prendre, je me suis aidé de la calculette :
---> quand on trace tan(x), on voit qu'elle est supérieure à x (pour x>0)
(c'est là que la calculatrice peut servir)
sauf en x=0 où f(x)=tanx - x = 0 - 0 = 0
(pas besoin de calculatrice)

f(-0,05)=-4.10 puissance -5
f(0,05)=4,2.10 puissance -5

f(-0,05) plus petit ou égal à 0 plus petit ou égal à f(0,05)
or f est croissante donc
-0,05 plus petit ou égal à 0 plus petit ou égal à 0,05

donc selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, 0 est l'unique solution à l'équation f(x)=0.
---> à supprimer

Enfin la question 3) En déduire la position relative de la courbe de la fonction tangente et de sa tangente au point d'abscisse 0.

L'équation de la tangente au point d'abscisse 0 est y=0.
Or, l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur ]-pi/2;pi/2[ qui est 0, donc f et sa tangente au point d'abscisse 0 sont confondues.
---> ils disent en déduire donc :
Comme la fonction est croissante, pour x > 0 elle est au-dessus de sa tangente
et pour x < 0, elle au-dessous


Merci d'avance pour vos remarques

[Quidam]

Soit la fonction f définie par f(x)=tanx - x sur ]-pi/2;pi/2[.

Première chose à remarquer : f est la somme de deux fonctions impaires, elle est donc impaire ! f(0)=0 donc !

f'(x)=tan²x ou (1/cos²x)-1.

La fonction tangente est pi-périodique, or f'(x)>0 sur [0;pi/2[, donc f'(x)>0 sur Df et f est strictement croissante sur Df.

Je ne comprends pas la logique de ce raisonnement ! Le fait que la fonction soit pi-périodique ne permet pas de déduire du fait que f'(x)>0 sur [0;pi/2[ le fait que f'(x)>0 sur Df ! Tu peux dire tout simplement que f'(x)>0 puisque f'(x)=tan²(x) qui est positif ou nul, et nul seulement en 0.

f(-0,05)=-4.10 puissance -5
f(0,05)=4,2.10 puissance -5

Ca m'étonnerait beaucoup ! Puisque f est impaire, et que f(0.05)=4,2.10^(-5), forcément f(-0.05)=-4,2.10^(-5) !!!!
D'ailleurs quand et quand . Le fonction prend donc une fois et une seule toute valeur réelle, en particulier 0, et l'on sait que f(0)=0 !

Or, l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur ]-pi/2;pi/2[ qui est 0, donc f et sa tangente au point d'abscisse 0 sont confondues.

f est une fonction, la tangente n'est pas la tangente de f, mais plutôt la tangente de Cf : une fonction et une droite ne peuvent pas être confondues !. En outre, Cf et sa tangente ne sont pas confondues : elles ont juste un point commun comme il sied a toute tangente bien élevée à une courbe en l'un de ses points !
Tu peux dire à la place que puisque f(0)=0 et que la fonction est croissante, alors f(x) >0 pour tout x positif et f(x) <0 pour tout x négatif.

[toto_tom]

Merci pour vos réponses, j'y vois plus clair.

J'ai juste besoin de précisions sur la question 2.
On me demande de démontrer que f(x)=0 admet une UNIQUE solution.

"D'ailleurs quand et quand . Le fonction prend donc une fois et une seule toute valeur réelle, en particulier 0, et l'on sait que f(0)=0 !"

Est-ce que ce que vous m'avez dit Quidam par rapport aux limites démontre ça?Moi je pensais qu'il fallait utiliser le corollaire des valeurs intermédiaires.

[toto_tom]

Et encore merci de votre aide.

[toto_tom]

Je dois calculer l'intervalle image non?