Exercice Difficile

[ayoub_96]

Montrer que si 3n+1 est un carré parfait, alors n+1 est la somme de trois carrés parfaits

[chan79]

Montrer que si 3n+1 est un carré parfait, alors n+1 est la somme de trois carrés parfaits

3n+1=a²
3n=a²-1
3n=(a-1)(a+1)
a ne peut pas être multiple de 3 car ni a-1, ni a+1 ne le serait
premier cas
posons a-1=3k
3n=3k(3k+2)
n=k(3k+2)
n+1=3k²+2k+1
n+1=k²+k²+(k+1)²
second cas
posons a+1=3k
3n=(3k-2)3k
n=k(3k-2)
n+1=k²+k²+(k-1)²

[ayoub_96]

merci pour la réponse rapide ..... il y a juste une chose que je n'arrive pas à mettre au clair :
3n+1=a^2 donc 3 ne divise pas a
(a-1)(a+1)=3n donc 3 divise (a-1)(a+1)
mais comment es-tu arrivé à la conclusion suivante: a-1=3k ou a+1=3k???
En remplaçant a par un chiffre c'est clair! Mais comment le démontrer?

[chan79]

merci pour la réponse rapide ..... il y a juste une chose que je n'arrive pas à mettre au clair :
3n+1=a^2 donc 3 ne divise pas a
(a-1)(a+1)=3n donc 3 divise (a-1)(a+1)
mais comment es-tu arrivé à la conclusion suivante: a-1=3k ou a+1=3k???
En remplaçant a par un chiffre c'est clair! Mais comment le démontrer?

quand tu as 3 entiers consécutifs, l'un d'entre eux est divisible par 3; si ce n'est pas celui du milieu, c'est l'un des deux autres

[ayoub_96]

Merci Encore !!