Etude d'une suite et démonstrations

[adzoline]

Bonjour,
Voici un exercice de mon DM de maths, je suis coincée à partir de la question c). Pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?

On considère la suite (un) définie par :

et


a) Calculer u1 et u2. (On donnera les résultats sous forme de fraction puis sous forme décimale arrondis a pres)

b) Demontrer, par recurrence, que pour tout n entier naturel, on a :


(On pourra utiliser le sens de variation de f sur un intervalle que l'on précisera)

En déduire que la suite () est convergente.

c) Démontrer que, pour tout n naturel


d) En déduire, par récurrence, que pour tout n entier naturel,



e) En déduire la limite de la suite (un).

Aidez moi svp !!

[Sylviel]

bonjour,

c) remplace Un+1 par son expression, dans Un+1 - V2, ensuite tu cherches à avoir la forme de droite, tu verras que tu l'auras à un petit quelquechose près... Reste à savoir le signe de cette chose pour avoir ton inégalité !

d) recurrence toute simple à partir de c)

e) se déduit directement de la question d)

P.S : quand tu as un exercice/ un controle et que tu bloques sur une question tu peux passer à la suivante en admettant le résultat, et revenir ensuite dessus...

[adzoline]

merci pour votre réponse =)

Question c) J'ai fait ce que vous m'avez dit et suis arrivée à
Ensuite j'ai factorisé par 1/2 et je trouve un truc bizarre :

En fait, je n'ai pas trouvé le "quelque chose " en trop ...

Question d) Au moment de prouver l'hérédité j'ai montré que
avec question b)
et pour montrer le reste j'ai essayé de faire avec la question c) mais je n'arrive pas à
revenir à l'expression de p(n+1)...

Question e) Avec le théorème des gendarmes j'ai trouvé racine de 2

[Sylviel]

c) et bien à droite tu as 1/2(Un-V2). Pour le moment à gauche tu as 1/2(Un-V2 + ... ) que valent les ... ?

d) Appliques simplement le c) puis l'hypothèse de récurrence.

e) très bien !

[adzoline]

c) ... je suis vraiment désolée mais je n'y arrive pas..

d) Là j'ai pensé qu'avec le c),
Mais le problème c'est que je ne comprends pas du tout la démarche :
qu'est-ce qui assure que ?
et pourquoi peut-on multiplier par 1/2 ?

[Sylviel]

c) pourtant tu y est presque, un petit coup de main : 2V2 = V2 + V2 :zen:

d) heu écris correctement ta récurrence.
quelle est la propriété Pn ?
qu'elle est le point de départ (P0 ou P1 ou ...) ? Est-il vrai ?
Pour l'induction : que supposes-tu ? Que veux tu montrer ?

Ensuite je crois que tu as déjà tout écrit pour conclure...

[geegee]

Bonjour,

U0=3/2
U1=1/2(U0+2/U0)
= 1/2(3/2+4/3)
= 1/2((9+8)/6)
=17/12=1,4166666
U2=1/2(U1+2/U1)
= 1/2(17/12+24/17)
=1/2(17.17/12.17+24.12/17.12)
=1/2(289/204+288/204)
=866/408
=2,122549

[adzoline]

c) Ah ! je crois que ça y est :
cette expression est positive, mais je vois pas en quoi cela prouve l'inégalité...

d) oui excusez moi je n'ai pas été assez claire .. =) Soit P(n) définie pour tout n naturel par

Initialisation



hérédité

Supposons que p(n) soit vraie et montrons p(n+1)
d'après la b), on sait que 0<Un+1 - V2

Puis avec la question c)
Mais là je ne sais pas comment arriver à !!

[adzoline]

geegee : merci pour votre réponse mais j'avais déjà trouvé la question a) :lol3:
(mais j'ai trouvé U2=1,41422 car 289+288=577 et non pas 866 )
Bonne journée :we: