Ensemble qui remplit la moitié de R

[Anonyme]

Bonjour,

existe-t-il un ensemble dont la mesure de Lebesgue quand on l'intersecte avec tout segment [a;b] vaut (b-a)/2 ?

[barbu23]

Bonsoir : :happy3:
Il y'a celui là :

[leon1789]

Bonsoir : :happy3:
Il y'a celui là :

Arrête de répondre n'importe quoi STP !
Relis l'énoncé : ...pour tout segment...

[Judoboy]

Bonsoir : :happy3:
Il y'a celui là :

Non mais il demande un ensemble qui ne dépend pas de a ni de b.

[Nightmare]

Bon, moi je prends le sens interdit : Pourquoi ça n'existerait pas?

[Anonyme]

Si ça existe, auriez-vous un exemple svp ?

[kissifrot]

Bonjour,

existe-t-il un ensemble dont la mesure de Lebesgue quand on l'intersecte avec tout segment [a;b] vaut (b-a)/2 ?

bonjour,

je ne pense pas qu'un tel ensemble puisse exister : je m'explique. Si un tel ensemble existe, alors son interesection avec n'importe quel intervalle (donc de longueur arbitrairement petite) est non-vide, donc cet ensemble est nécessairement . Réciproquement, on vérifie aisément que ne "tranche" pas les intervalles en deux.

[leon1789]

Si un tel ensemble existe, alors son interesection avec n'importe quel intervalle (donc de longueur arbitrairement petite) est non-vide, donc cet ensemble est ...

... est par exemple

Avoir une intersection non-vide avec n'importe quel intervalle (donc de longueur arbitrairement petite), c'est ce qu'on appelle la densité.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Densit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)

[kissifrot]

Certes, mais à une mesure nulle, donc à moins de chercher des ensembles denses de mesure non nulle (peut être un truc du genre ensemble de Cantor généralisé à ) je ne suis pas sur que l'on puisse trouver un tel ensemble.

[leon1789]

(...) donc à moins de chercher des ensembles denses de mesure non nulle (...)

C'est effectivement dans ce genre d'ensembles qu'il faut chercher : ensemble dense dans R, d'intérieur vide (complémentaire dense également), de mesure non nulle, etc.

[Doraki]

si un tel ensemble X existe, alors pour tout intervalle I, µ(I inter X) = µ(I)/2.
Il me semble qu'on peut en déduire que pour toute partie mesurable I, µ(I inter X)= µ(I)/2.
On obtient alors une contradiction avec 1/2 = µ(X inter [0;1]) = µ(X inter (X inter [0;1])) = µ(X inter [0;1])/2 = 1/4.

[gdlrdc]

mais X inter [0;1] n'est pas un intervalle donc ne vérifie pas l'hypothèse de départ qui est pour I intervalle.
Je me trompe ou non?

[Nightmare]

Doraki généralise à toute partie mesurable, mais je dois avouer avoir du mal à voir la généralisation. On peut généraliser aux ouverts sans trop de problème et peut être que ça peut permettre de conclure.

[Judoboy]

mais X inter [0;1] n'est pas un intervalle donc ne vérifie pas l'hypothèse de départ qui est pour I intervalle.
Je me trompe ou non?

Non, mais si X est mesurable X inter [0;1] est mesurable et donc µ(Xinter(Xinter[0;1]))=1/2(µ(Xinter[0;1]))=1/4 ce qui est en contradiction avec µ(Xinter[0;1])=1/2.

Doraki, je pense que ton "il me semble" doit pouvoir se montrer en utilisant le fait que les éléments de la tribu borélienne sont obtenus par un nombre dénombrable d'opérations sur les intervalles fermés de R si je ne m'abuse (mais j'ai pas le courage je sens que ça va être horrible à écrire).

Donc ce que tu écris est vrai si on se place sur la tribu borélienne (oui la tribu de Lebesgue), mais si on prend comme tribu l'ensemble des parties de R (mais il faut changer de mesure je suppose) ou si on prend l'axiome de Solovay (toutes les parties de R sont lebesgue-mesurables) ça doit bien être possible de construire un ensemble comme on le demande non ? Genre un ensemble A qui fait que si on prend un réel au hasard de manière uniforme dans n'importe quel intervalle, P(x€A)=1/2 ?

Même si c'est le cas je pense pas qu'on puisse l'expliciter en revanche parce que ça contredit l'axiome du choix et de mémoire si un ensemble fait appel à l'axiome du choix d'une quelconque manière pour l'expliciter c'est mort...

[Judoboy]

Doraki générale à toute partie mesurable, mais je dois avouer avoir du mal à voir la généralisation. On peut généraliser aux ouverts sans trop de problème et peut être que ça peut permettre de conclure.

Ca m'étonnerait, l'ensemble qu'on cherche va être dense de complémentaire dense, ni ouvert ni fermé et a à mon avis une topologie absolument atroce.

[Doraki]

On suppose qu'on a X mesurable (si il l'est pas on peut pas formuler le truc qui vient) tel que pour tout intervalle I, µ(X inter I) = µ(I)/2.

On définit une mesure µ' sur les boréliens de R par µ'(A) = 2*µ(X inter A).
L'hypothèse sur X dit que µ' = µ sur les intervalles.
Donc µ' = µ (conséquence du lemme d'unicité des mesures / lemme de classe monotone)

Donc 1/2 = µ(X inter [0;1]) = µ'(X inter [0;1]) = 2*µ(X inter X inter [0;1]) = 2*µ(X inter [0;1]) = 1,
contradiction.

[Arkhnor]

Bonjour.

C'est une conséquence classique du théorème de Vitali-Lebesgue (voir par exemple dans le Rudin, ou n'importe quel bouquin sérieux de théorie de la mesure)

(l'idée, c'est qu'un tel ensemble est de mesure non nulle, et possède donc un point de densité égale à 1)

Mais l'idée de Doraki est plus élémentaire. Je suis surpris de l'avoir jamais rencontré ...

[gdlrdc]

Bien vu Doraki

[Anonyme]

Merci !_____