Hauteur du liquide dans un bol a moitié rempli

[Thomacsan]

Bonjour à tous,

Comme indiqué dans le titre, j'ai un exercice à résoudre avec un énoncé très simple : "trouver la valeur de la hauteur d'un liquide dans un bol (que l'on considérera comme une demi sphère) a moitié rempli."

Je pense avoir trouvé la réponse qui serait rayon/racine(2).

Pour cela j'ai considéré le volume de la demi sphère comme l'air d'un demi cercle car je pense que cela n'affecte pas le rayon.
J'ai prix l'équation d'un demi cercle, fait la moyenne de son intégrale car je pense que c'est bien le résultat que l'on cherche mais je ne trouve rien de logique.

Voilà, si quelqu'un a des idées ou peux me corriger ce serait avec plaisir.

[pascal16]

la formule d'un segment de sphère est partout sur internet et donne le résultat .

[GaBuZoMeu]

Il y a plusieurs raisons pour lesquelles ta démarche ne va pas :
1°) le volume d'une sphère comme d'une demi-sphère est proportionnel au cube du rayon, et pas au carré.
2°) le volume occupé par le liquide dans une demi-sphère à moitié remplie n'est pas une demi-sphère.

Tu ne vas pas couper à un peu de calcul intégral pour résoudre ton exercice.

[Black Jack]

Salut,

Comme le dit pascal16, il faut 10 secondes pour trouver la formule d'un segment de sphère sur internet et ainsi avoir quasi terminé.

Mais la question étant posée en "Supérieur" il est presque sûr que ce qui est attendu est de résoudre le problème sans l'aide d'une formule prémachée disponible sur le net.

Si c'est le cas, une manière de résoudre peut être :

Considérer le cercle d'équation x² + y² = R² et chercher le volume engendré par celui-ci en le faisant tourner autour de l'axe des y, depuis y = -R jusque y = -R+h

... et d'égaler ce volume à Pi.R³/3 (1/2 volume du bol hémisphérique)

Il faut donc trouver la valeur de h telle que :

Soit donc trouver la valeur de h telle que :

... ce qui est sans difficulté.

[tournesol]

Sans difficultés car on trouve aussi sur le net les formules de Cardan pour résoudre

[Black Jack]

Sans difficultés car on trouve aussi sur le net les formules de Cardan pour résoudre

Pas plutôt : ? (avec x = h/R)

[GaBuZoMeu]

... qui a pour seule racine réelle 3.1 et des poussières.

Bravo Black Jack !

[GaBuZoMeu]

Cartogy : charabia sans queue ni tête.

[Black Jack]

Salut,

distraction,

on arrive bien comme Tournesol l'a écrit à : X³ - 3X²+1 = 0 (avec X = h/R)

[fatal_error]

@cartogy
2 semaines compte tenu de tes postes apparents pour la plupart tous du flood.
il y a plein d'autres forums poubelle où tu peux divaguer, merci

[GaBuZoMeu]

Je trouve ça plus sympa en prenant pour inconnue R/h, et sans formule de Cardan. Mais visiblement le questionneur s'est désintéressé de son problème.

[Thomacsan]

Bonjour, j'arrive un peu après la guerre mais merci beaucoup pour votre aide !

[GaBuZoMeu]

Alors, que trouves-tu finalement ?

[Thomacsan]

Je trouve bien l'equation X^3 - 3X^2 + 1 = 0
Il faut que je cherche la méthode pour trouver les racine maintenant.

[GaBuZoMeu]

Moi j'aime mieux (on peut facilement passer de l'une à l'autre). Je l'aime mieux parce qu'elle se résout agréablement en faisant un peu de trigo.

[Thomacsan]

Par contre j'ai compris la méthode mais le résultat ne me paraît pas logique. Si la racine réelle vaut 3 comme tu l'as annoncé cela veut dire que la hauteur est égale à 3 fois le rayon non ? Vu que x = h/r

[GaBuZoMeu]

Si tu avais bien lu, tu verrais que la racine 3.1 et des poussières est la racine du polynôme présenté par Black Jack comme correct ... avant qu'il s'aperçoive de son erreur. J'ai justement explicité cette racine pour qu'il s'en aperçoive.

[Thomacsan]

Ah mince, et dernière question : que signifie le t dans l'équation que tu propose ? Et comment passer de l'une à l'autre ?

[Black Jack]

Il suffit de lire les indications données par Tournesol.

Pourquoi tant de mystère ?

Tout a été dit dans le message du 01 Nov 2019 11:25 pour une méthode à utiliser.
Et puis dans le message du 01 Nov 2019 15:32 qui indique l'équationà laquelle on arrive et la méthode pour la résoudre.

Si tu suis ces conseils, alors tout le semblant de mystère de la relation de GaBuZoMeu n'existe pas.

Pour faire sauter le terme en X² de X^3 + a.X^2 + b.X + c = 0, la méthode de Cardan indique sans ambiguïté qu'il faut faire le changement de variable : X = t - a/3

Donc ici, pour X^3 - 3X^2 + 1 = 0 (avec X = h/R) ... Cardan t'indique de poser X = t+1

... et on arrive alors tout simplement à t³ - 3t + 1 = 0 équation de la forme : t³ + p.t + q = 0 (qui est comme par hasard celle que traite la méthode de Cardan).

Il faut ensuite calculer (q/2)² + (p/3)³ ... ici ce sera < 0
Et on peut alors conclure que :

Il y a 3 racines réelles qu'on peut trouver par une méthode trigonométrique.

On trouve :





Et donc




On devra conserver la solution positive inférieure à 1 (dans ce problème, par les données, on doit évidemment avoir 0 < h/R < 1)

[GaBuZoMeu]

Bon, Black Jack a mal interprété mes indications mais ce n'est pas grave (et il a d'ailleurs encore fait une erreur de signe).

J'ai pourtant déjà écrit plus haut que je trouvais plus sympa de travailler avec , ce qui nous amène tout droit à résoudre l'équation . Ici on se souvient que , ce qui nous pousse à poser . Notre équation devient alors , d'où . En gardant la bonne solution pour , on a finalement :