DM produit scalaire

par **wale59** » 26 Avr 2013, 12:33

Bonjour ayant un DM à faire je sollicite votre aide pour plusieurs exercices :

exercice 1 :
Soit (O;i;j) un repère orthonormé et (C) le cercle de centre O(4;2) et de rayon 5
1) Déterminer une équation du cercle (C) : j'ai répondu x²+y²-8x-4y-5=0
2) Déterminer les coordonnées des points de contacts des tangentes à (C) passant par le point A(-7;4) et de (C) : a cette question je suis bloqué

exercice 2 :
Soit (O;i;j) un repère orthonormé et (D) la droite d'équation y=x-1 et A le point de coordonnées (2;3)
On note H le projeté orthogonal de A sur (D)
1) Que peut-on dire du vecteur AH ?: j'ai répondu que le vecteur AH est perpendiculaire à (D)
2) Donner une équation de la droite (AH) : je suis bloqué
3) Déterminer les coordonnées du point H : je suis bloqué
4) Calculer la distance AH ; je suis bloqué

exercice 3 :
Soit ABCD un carré de côté 5 cm et I le milieu de [AD]
1) Calculer IB . IC
2) Détermine à 1° prés l'angle BIC

Merci beaucoup de m'accorder de l'aide :we:

par **jlb** » 26 Avr 2013, 13:03

Bonjour
exercice 1 :
Soit (O;i;j) un repère orthonormé et (C) le cercle de centre O(4;2) et de rayon 5
1) Déterminer une équation du cercle (C) : j'ai répondu x²+y²-8x-4y-5=0 c'est bon désolé

2) Déterminer les coordonnées des points de contacts des tangentes à (C) passant par le point A(-7;4) et de (C) : calcule M(x,y) écris que vect(AM).vect(OM)=0 ( def tagente) et après avec équation du cercle tu as 2 équations (tu les soustrais, tu tires y en fonction de x et tu réinjectes dans 1 des éq de départ pour trouver x)

exercice 2 :
Soit (O;i;j) un repère orthonormé et (D) la droite d'équation y=x-1 et A le point de coordonnées (2;3)
On note H le projeté orthogonal de A sur (D)
1) Que peut-on dire du vecteur AH ?: j'ai répondu que le vecteur AH est perpendiculaire à (D)
2) Donner une équation de la droite (AH) : leçon: propriété de coeff directeur de deux droites perpendiculaire (a.b=-1) ( tu cherches y =bx+c) et ensuite elle passe par A
3) Déterminer les coordonnées du point H : intersection de 2 droites: petit système à résoudre
4) Calculer la distance AH ; tu as A et H donc AH²=(xh-xa)²+(yh-ya)²

exercice 3 :
Soit ABCD un carré de côté 5 cm et I le milieu de [AD]
1) Calculer IB . IC calcule (vect(IA)+vect(AB)).(vect(ID)+vect(DC)) en développant c'est facile, il y a plein d'anlges droits
2) Détermine à 1° prés l'angle BIC calcule vect(IB).vect(IC) d'une autre façon et en utlisant la question 1 tu auras cos(BIC)

par **wale59** » 26 Avr 2013, 13:09

Merci beaucoup je regarde ça tout de suite

par **wale59** » 27 Avr 2013, 11:00

Pourriez-vous me réexpliquer la question 2 de l'exercice 1 s'il vous plaît ? Car il faut trouver 2 points et je ne sais pas comment il faut faire, puis aussi me réexpliquer la 2 de l'exercice 2 et la 1 de l'exercice 3.

Merci

par **jlb** » 27 Avr 2013, 11:26

M(x,y) point de contact. par définition tangente tu as un angle droit entre le rayon OM et la tangente (AM)
d'où vect(OM).vect(AM)=0 tu calcules les coordonnées des vecteurs et tu effectue le produit scalaire, cela te donne une équation: fais déjà ça et je te guidera pour la suite.

par **jlb** » 27 Avr 2013, 11:36

(D) a pour équation y=1x-1 une droite perpendiculaire à D aura pour équation y=-1x+c car la condition d'orthogonalité est produit des coef directeur = -1

après la droite doit passer par A donc les coordonnées de A vérifient l'équation d'où 3=-1*2 + c

et tu trouves ainsi c

par **jlb** » 27 Avr 2013, 11:43

Calcule (vect(IA)+vect(AB)).(vect(ID)+vect(DC)) car
vect(IA)+vect(AB)=vect(IB) et vect(ID)+vect(DC)=vect(IC)

en développant cela donne
vect(IA).vect(ID)+ vect(IA).vect(DC) +vect(AB).vect(ID) + vect(AB).vect(DC)

tu regardes ta figure, il y a plein d'angles droits ( produit scalaire nul!!) donc il te reste plus grand chose à calculer.

par **wale59** » 27 Avr 2013, 13:50

pour la question 2 exercice 1 je trouve donc pour la première équation : x²+y²+3x-6y-20=0
Est-ce correct ?

par **jlb** » 27 Avr 2013, 14:08

c'est bon, tu utilises alors l'équation du cercle ( le point M est dessus).
cela te donne le système:

x²+y²+3x-6y-20=0 et x²+ y² -8x-4y-5=0

tu soustrais les équations: il reste 11x - 2y-15=0 tu peu donc écrire y=(11x-15)/2

que tu remplaces dans une des deux équations précédentes qui devient une équation du second degré en x que tu dois résoudre et tu obtiens y correspondant à partir de la relation y=..

par **wale59** » 27 Avr 2013, 14:54

pour l'équation x²+y²+3x-6y-20=0 en remplaçant y cela nous donne 4x²-329x+325=0 ?

par **jlb** » 27 Avr 2013, 15:36

wale59 a écrit:pour l'équation x²+y²+3x-6y-20=0 en remplaçant y cela nous donne 4x²-329x+325=0 ?

non, tu as du oublié des x², écris tes calculs svp

par **wale59** » 27 Avr 2013, 15:44

x²+(11/2x+15/2)²+3x-6(11/2x-15/2)-20=0
x²+121/4x-330/4x+225/4+3x-66/2x+90/2-20=0
x²-329/4x+325/4=0
4x²-329x+325=0

par **jlb** » 27 Avr 2013, 16:14

[quote="wale59"]x²+(11x/2-15/2)²+3x-6(11x/2-15/2)-20=0
x²+121x²/4-330x/4+225/4+3x-66x/2+90/2-20=0 tu as oublié le x²
après tu multiplies tout par 4

4x² + 121x² -330x +225 +12x - 132x + 100=0
125x² - 450x + 325 = 0
5x²-18x+13=0 et après tu termines seul, je regarderai si j'ai le temps lundi, désolé.

par **wale59** » 28 Avr 2013, 07:43

up : quelqu'un d'autre ?

par **siger** » 28 Avr 2013, 13:28

wale59 a écrit:up : quelqu'un d'autre ?

5x²-18x +13 = (x-1)*(x-26/10) = 0

2/
2- par definition si deux droites sont perpendiculares le produit des coefficients directeurs est egal à -1
donc la perpendiculaire a (D) qui passe par A a pour equation y = -(x-xA) + yA
3- H est sur les deux droites d'ou
yH = xH-1 = -(xH - xA) + yA
xH = ....
4-AH² = (xH-xA)² + (yH-yA)²

3/
Dans un tel cas on cherche (en utilisant le theoreme de Chasles) a faire apparaitre des produis scalaires de vecteurs perpendiculaires (donc nuls) et de produits scalaires de vecteurs colineaires (donc egaux au produit des normes)
exemple : IA.AB = 0
IA.ID = IA*ID
.....
puis connaissant le produit IB.IC on peut calculer cos (BIC)
iB.IC = IB*IC*cos(BIC)

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