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Devoir maison
Le but de ce devoir maison est de démontrer le résultat suivant
[I]Dérivée de la fonction X => (U(x))^n
Soit n un entier relatif non nul.
Définition /propriété : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
Alors la fonction f : x => (u(x))^n est dérivable sur :
-I si n>0
-Tout intervalle J inclus dans I tel que pour tout x de J : u(x)=!0 (différent de 0) si n<0.
Alors, pour tout x de l'ensemble de dérivabilité de f on a : f'(x) = n * u'(x) * (u(x))^n-1
[/I]
Pour cela on va commencé par démontrer le résultat pour n N*
Ensuite on va chercher à le généraliser à Z*
Soit u une fonction dérivable qui ne s'annule pas sur un intervalle I.
1) Démontrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n et pour tout x de I on a : (u(x)^n) = n * u'(x) * (u(x))^n-1
Je comprend pas comment m'y prendre et ce qu'on attend de moi. En voyant le cour on a fait un exemple sans raisonnement par récurrence et sans lettre juste avec des chiffres. (je suis un peu perdu)
J'ai juste pu faire :
Initialisation : On vérifie que la propriété P(n) est vrai : " Pour tout entier naturel non nul n et pour tout x de I on a : (u(x)^n) = n * u'(x) * (u(x))^n-1"
Après je ne sais pas comme faire une démonstration car il n'y a pas de nombre.
Merci de bien vouloir m'éclairer.
(suite du DM)
2) En vous servant de la dérivée d'une fonction inverse et du résultat précédent, démontrer que, pour tout entier naturel non nul n et pour tout x de I on a :
(1/(u(x)^n))' = -n * u'(x) * (1/ (u(x)^n+1) )
3) Conclure.
Donc sans la 1) je ne peut pas répondre aux deux autres :mur:
Et encore merci pour votre aide.
