Dérivée grâce à un développement limité

[chelsea-asm]

Bonjour,

Je traite un exercice où je dois étudier la fonction définie sur \{0}

Premièrement j'ai montré, grâce à des équivalents usuels en 0, que f est prolongeable par continuité en 0 en posant f(0)=1

Deuxièmement je dois trouver un développement limité à l'ordre 3 de f(t) au voisinage de 0.
Grâce à la dérivée de f(t) : puis à une intégration, je trouve le :

(je pense avoir juste...)

Par la suite, on me demande d'en déduire que f est dérivable en 0 et donner la valeur de .

Je veux bien sûr utiliser la formule de Taylor Young, et dire :
Comme f est de classe sur , d'après la formule de Taylor Young on a :



Par unicité de la partie régulière du on en déduit que f'(0)=0.

Seulement le souci, c'est que je ne vois pas la nécessité d'utiliser le dans la formule de Taylor Young pour trouver f'(0), le suffirait... Mais si on le demande à l'ordre 3 il y a une raison...
Du coup, si je le veux à l'ordre 3 dans la formule de TY, comme ci-dessus, je dois prouver que f est de classe

Quelle est la meilleure façon de rédiger ça SVP ??

Merci beaucoup, Cordialement,

[Deliantha]

je dois prouver que f est de classe

f est une fonction rationnelle donc est de classe (la suite de la démo s'expose sur le forum futura).

[Arkhnor]

Bonjour.

La dérivée de est incorrecte. (j'imagine que Deliantha l'avait vu)
Tu as seulement dérivé l'arctangente. Comment dérive-t-on un quotient ?

[chan79]

(je pense avoir juste...)



Seulement le souci, c'est que je ne vois pas la nécessité d'utiliser le dans la formule de Taylor Young pour trouver f'(0), le suffirait... Mais si on le demande à l'ordre 3 il y a une raison...
Du coup, si je le veux à l'ordre 3 dans la formule de TY, comme ci-dessus, je dois prouver que f est de classe

Quelle est la meilleure façon de rédiger ça SVP ??

Merci beaucoup, Cordialement,

Pour obtenir f'(0), je chercherais la limite quand x tend vers 0de en utilisant le développement limité de f(t)

[chelsea-asm]

Bonjour à tous, et tout d'abord merci pour la rapidité et la précision de vos réponses !! :happy2:

@Deliantha : Merci pour le petit rappel, c'était un de mes derniers chapitres il me semble.

@Arkhnor : Je me suis mal exprimé. J'ai en effet dérivé arctan(t) uniquement, j'ai fait le développement limité de sa dérivée, qui est un DL usuel. J'ai ensuite intégré pour obtenir le DL de arctan(t) suite à quoi il était simple d'en déduire le DL du quotient arctan(t)/t. C'est ainsi que j'ai obtenu le résultat.
Quant à la dérivée d'un quotient c'est bien sûr Merci pour la remarque j'étais allé vite sur l'explication.

@chan79 : Oui cette méthode je l'ai déjà utilisée auparavant, je vais essayer de voir ce que ça donne, à moins que celle que j'ai faite soit plus simple étant donné que je sais maintenant que f est de classe

Maintenant, si, comme Deliantha je précise que la fonction f est de classe , que je me sers du de f et que par la formule de Taylor Young et l'unicité j'en déduis que f'(0)=0 est-ce juste ?

Encore merci

Alex

[chelsea-asm]

PS : j'en rajoute un peu en disant que la question qui suit celle que j'ai postée, demande de justifier que f est dérivable sur R.

Je pense donc que je ne suis pas censé dire que f est de classe

[Arkhnor]

L'argument de Deliantha consistait à dire que comme est une fraction rationnelle, alors est .
Mais comme tu as utilisé la lettre pour deux fonctions différentes, ça a jeté tout le monde dans la confusion. L'argument de Deliantha donne donc que l'arctangente est , ce qui n'est pas ce que tu cherches.

Néanmoins, tu écris le DL de arctan au voisinage de 0 à l'ordre 2, tu divises tout par et tu constantes que tu obtiens un DL de à l'ordre 1; ce qui te donne la dérivabilité en 0, et la valeur de la dérivée.

[chelsea-asm]

Donc le fait d'avoir un DL à l'ordre 1 de arctant/t permet de dire que cette fonction est dérivable ? Et ensuite grâce à Taylor Young, montrer que c'est 0 ?

Sinon, j'ai cherché avec la formule de chan79 (on est d'accord f(t) = arctant/t)

Ce qui donne :

Ainsi la limite quand t->0 de la fraction du dessus = 0

Donc f est dérivable en 0 et f'(0)=0

Après, je ne me rappelle plus la rédaction exacte. Mais je crois que c'est ça.

En tout cas merci

[Arkhnor]

"Admettre un DL à l'ordre 1 en a", c'est équivalent à "être dérivable en a". C'est une reformulation de la définition d'une dérivée : le DL donne immédiatement l'existence de la limite pour le taux d'accroissement (c'est ce que tu fais dans ton calcul juste après; qui n'est donc pas une preuve alternative, mais la même preuve); et inversement, l'existence de la limite pour le taux d'accroissement donne le DL.

(attention, ce n'est plus vrai pour des dérivées d'ordre supérieurs; on a alors plus que l'implication fournie par Taylor-Young)

[chelsea-asm]

D'accord ! Merci beaucoup Arkhnor, je comprends mieux les méthodes alors :id:

Bon ben j'en ai fini avec cette question ! J'ai revu et peut-être même appris un truc de nouveau !
Merci pour vos nombreuses réponses ;)

Bonne soirée, ou bonne journée ! A bientôt ! :we:

Cordialement,

Alex