Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

Réponses à toutes vos questions du CP à la 3ème
Matyo
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Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Matyo » 19 Fév 2016, 19:01

Bonjour à tous,
je suis en classe de 3éme et nous venons de clôturer le chapitre sur la trigonométrie. Je poste ici mon premier sujet suite à un Devoir Maison que m'a donné mon professeur de Mathématiques. Le DM comporte deux exercices, un sur le Théorème de Pythagore et un autre sur la Trigonométrie. J'ai cherché toute la matinée, je suis bloqué au premier exercice car je ne comprends pas le "en fonction de x, y et z", et je ne comprends même pas le début du deuxième exercice ; en bref je suis complétement perdu.

Exercice 1 : Équation de la sphère (Pythagore) :
[img][IMG]http://img15.hostingpics.net/thumbs/mini_64959220160212125443copie.jpg[/img][/img]

Exercice 2 : Cornet de glace (Trigonométrie) :
[img][IMG]http://img15.hostingpics.net/thumbs/mini_66252920160212125443.jpg[/img][/img]

Pourriez vous m'aider, ou du moins simplement m'éclairer ?
Je vous en serais sincèrement reconnaissant.

Merci, Matyo.



siger
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par siger » 19 Fév 2016, 19:37

bonjour

exprimer A en fonction de x (ou y ...) veut dire: etablir une relation qui lie A àx (ou y...)
exemple
exprimer la surface S d'un rectangle de cotés a et b signifie : S = a*b
exprimer un longueur AB en fonction de x et y (dans un triangle rectangle par exemple): AB² = x² + y²

dans le premier exrcice on te demande de calculer des longueurs (au carré) dans des triangles rectangles, "en fonction " des coordonnées

dans le second on cherche des longueurs dans des triangles rectangles en fonction des lignes trigonometriques desangles
exemples
O'B = SB*sin(30/2)
OB = SB*tan(30/2)
.......

Matyo
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Matyo » 19 Fév 2016, 20:58

D'accord merci.

Je me concentre sur l'exercice 1 (je verrai pour le 2 ensuite), et si je comprends bien :

- Pour le 1) de l'exercice 1 : Pour exprimer OM'² en fonction de x et y, il faut en quelques sortes avoir x et y dans la formule du Théorème de Pythagore. Or il n'y a aucun triangle rectangle comprenant en même temps x, y et OM'. Il y a cependant deux triangles rectangles comprenant respectivement x et OM' ainsi que y et OM'. Il y aurait donc deux façons d'exprimer OM'² en fonction de x puis de y avec le théorème de Pythagore :
Oy² - yM'² = OM'² et Ox² - xM'² = OM'².
Est ce que je raisonne bien ?

- Pour le 2) de l'exercice 1 : Si il faut se positionner exclusivement dans le triangle OMM' et trouver OM² en fonction de x y et z, comment faire puisque aucun des axes n'est un côté du triangle ?!

- Pour le 3) de l'exercice 1 : Pour que M appartienne à la sphère de rayon 5 et de centre O, il faut simplement que ses coordonnées soit égale à 5 ou moins non ? Il faut utiliser le résultat précédent, mais je ne vois pas en quoi il est nécessaire. On énonce aussi que la condition cherchée est l'équation cartésienne de la sphère, mais je ne sais pas ce que c'est...

siger
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par siger » 19 Fév 2016, 23:11

re

attention au dessin!
il n'existe pas de point indiqué x ou y ....
x et y sont les coordonnees de M' telles que l'on ecrit generalement M' (x,y) et qui correspondent à la relation vectorielle de definition des coordonnees
OM' = x *i +y*j
x et y etant des nombres et i et j les vecteurs unitaires sur les axes d'abcisses ( dit generalemeny Ox) et d' ordonnées(Oy)

pour plus de clarté appelons P et Q respectivement les projections orthogonales de M' sur les axes
on a en vecteurs
OP= x*i et OQ= y*j
comme les axes sont orthogonaux on a aussi OP = M'Q et OQ = M'P

par suite dans le triangle rectangle OQM' (ou OPM' ) Pythagore permet d'ecrire
OM'^2 = OP^2 + PM'^2 ( ou = OQ^2 + M'P^2) = x^2 + y^2
.......

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mathelot
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par mathelot » 19 Fév 2016, 23:26

clore un chapitre: terminer un chapitre
clôturer un champ: construire une clôture autour

Matyo
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Matyo » 20 Fév 2016, 18:36

Heu... Je ne comprends pas désolé.. Qu'est ce que les projections orthogonales..? Ne pouvez vous pas me dire ce que je dois faire s'il vous plait ? Je suis complètement perdu... Merci.

Matyo
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Matyo » 22 Fév 2016, 18:45

S'il vous plait..?

Pseuda
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Pseuda » 22 Fév 2016, 20:31

Pour l'exercice 1)
Le souci dans ton énoncé, c'est qu'il n'y a pas de points qui matérialisent x, y et z.
Tu peux dire : A=point d'abscisse x, B point d'ordonnée y, C point de cote z.
Tous les triangles sont rectangles, tu peux utiliser Pythagore :
Dans le triangle OAM' : OM'²=OA²+AM'²=x²+y² (car, quelle est la nature du quadrilatère OAM'B ? donc ses côtés opposés sont comment ?)
Continue avec OM² en utilisant le point C.

Puis M appartient à la sphère si OM =5.

Pour l'exercice 2), question 1 : il faut utiliser la trigonométrie dans le triangle O'BS.

MABYA
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par MABYA » 22 Fév 2016, 21:08

Pour ajouter quelques compléments
pour la 1
le triangle OXM' est rectangle en X si tu désigne par X le point d'abscisse x.
donc OM' est l'hypoténuse ...
pour la 2
Le triangle OMM' est rectangle en M' car MM' est perpendiculaire à OM'
et MM'=z, on a trouvé OM'
OM²= OM'²+z²
pour la 3 il faut que OM =5
Il suffit d'écrire la relation entre x, y, z qui égale OM² qui égale 5²

Matyo
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Matyo » 23 Fév 2016, 16:48

Merci beaucoup ! J'ai pu, grâce à vous, comprendre et faire l'exercice 1 ! Voilà ce que j'ai pu faire pour l'exercice 1 :
"Exercice 1 :
1) Pour commencer, je matérialise x, y et z avec des points : A=point d'abscisse x, B point d'ordonnée y et C point de cote z.

- Pour trouver le carré de la distance OM' en fonction de x et y, je dois utiliser le Théorème de Pythagore dans le triangle OAM' (OAM' est rectangle car OA est perpendiculaire à AM') :
Le triangle OAM' est rectangle en A, donc OM' est l’hypoténuse. Donc OM'²=OA²+AM'².

- Or, le quadrilatère OAM'B est un rectangle (car il comporte 2 angles droits). Dans un rectangle, les cotés opposés sont égaux. Donc OB = AM'. L'égalité de Pythagore suivante est donc vraie : OM'²=OA²+OB².

- On sait que OA = x et que OB = y. L'égalité de Pythagore suivante est vraie également : OM'²=x²+y².

J'ai réussi à exprimer le carré de la distance OM' en fonction de x et y.

2) En continuant de matérialiser x, y et z avec des points : A=point d'abscisse x, B=point d'ordonnée y et C=point de cote z.

- Pour trouver le carré de la distance OM en fonction de x, y et z, je dois utiliser le Théorème de Pythagore dans le triangle OMM' (OMM' est rectangle car MM' est perpendiculaire à OM') :
Le triangle OMM' est rectangle en M', donc OM est l'hypoténuse. Donc OM²=OM'²+MM'².

- Or, le quadrilatère OM'MC est un rectangle (car il comporte 2 angles droits). Dans un rectangle, les cotés opposés sont égaux. Donc OC = MM'. L'égalité de Pythagore suivante est donc vraie :
OM²=OM'²+OC².

- On sait que OM'² = x²+y² et que OC = z. L'égalité de Pythagore suivante est donc vraie également : OM²=(x²+y²)+z²

J'ai réussi à exprimer le carré de la distance OM en fonction de x, y et z.

3) Pour que M appartienne à la sphère de centre O et de rayon 5, il faut que OM=5. Pour cela, il faut écrire la relation entre x, y, z qui égale OM² qui égale 5² : (x²+y²)+z² = OM² = 5².
La condition qui doit satisfaire les coordonnées x, y et z est donc que (x²+y²)+z² = 5²."

J'ai également réussi le 1) de l'exercice 2, merci :
"1) Pour exprimez O'B, on travaille dans le triangle O'BS. L'angle O'SB = 15° (30° : 2 = 15°), on peut donc utiliser le sinus de 15° pour trouver O'B: sin(15°) = O'B/15. On fait un produit en croix : pour trouver O'B : O'B = sin(15°)*15, en données numériques."

Pour le 2) de l'exercice 2, j'ai trouvé que le sin(15°) = OB/OS en travaillant dans le triangle OBS, mais je n'arrive pas à retrouver cette expression dans le triangle O'OB... Pourriez-vous m'aider ? Merci !

Pseuda
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Pseuda » 23 Fév 2016, 20:23

Super ! Pour l'exercice 1, c'est exactement ça, (sauf qu'un quadrilatère est un rectangle dès qu'il a 3 angles droits (2 angles droits ne sont pas suffisants).

Pour le 2) de l'exercice 2, quelle est la 3ème formule du cours dont il est question dans l'énoncé ?

Matyo
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Matyo » 23 Fév 2016, 22:14

D'accord merci je corrige ! Il est question de la formule : cos(A) = sin(B) lorsque A + B = 90°. Mais où l'appliquer..?

MABYA
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par MABYA » 23 Fév 2016, 22:38

Attention ! pour OB l'angle droit est OBS
OS n'est pas intéressant on ne connaît rien de lui (pour le moment)
Donc c'est OB =15 et l'angle de 15° qu'il faut considérer mais pour trouver OB il ne s'agit pas de sinus ni de cosinus ...
Dans les triangles OBS et OO'B il se pourrait à vue de nez (je n'ai pas regardé mais je le sent) qu'il y ait des angles dont les côtés pourraient être perpendiculaires...
Pour OO' tu n'auras pas de difficultés et pour le reste aussi, à toi la balle (en l’occurrence le sphère glacée , moi je les préfère à la vanille).

Pseuda
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Pseuda » 24 Fév 2016, 00:50

Matyo a écrit:D'accord merci je corrige ! Il est question de la formule : cos(A) = sin(B) lorsque A + B = 90°. Mais où l'appliquer..?

question 2 : Comme dit Mabya, dans le triangle OBS, tu peux utiliser un autre rapport trigonométrique que sin avec l'angle S pour obtenir OB.
Dans le triangle OO'B, tu peux utiliser pour l'angle O le rapport qui fait intervenir à la fois OB et O'B. Tu peux alors utiliser OB' de la question 1, la 3ème formule de ton cours, et aussi la formule tan = sin / cos pour obtenir la même expression de OB.

(la 2ème partie de cette question me paraît quand même difficile en 3ème, et elle est inutile pour la suite).

question 3 : en comparant les angles des triangles OBS et OO'B, tu peux en déduire la mesure de l'angle O'BO

Continue.

Matyo
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Matyo » 24 Fév 2016, 16:35

Le 1) est-il juste ?

Donc pour le 2) dans OBS : je peux utiliser la tangente : tan(15°) = OB/15 ou OB = tan(15°)*15. Jusque là je pense que ça va.

Dans OO'B ça se complique : le rapport qui fait intervenir à la fois OB et O'B est le sinus : sin(O) = O'B/OB. Faut-il que je transforme O'B en sin(15)*15 ? Quand dois-je utiliser les formules, car il n'est pas question de cosinus ici ? Dois-je le trouver ?

Merci, je ne comprends pas la démarche à suivre dans cette deuxième partie d'exercice..

MABYA
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par MABYA » 24 Fév 2016, 17:16

Ce n'est pas l'angle O qu'il faut considérer mais l'angle O'BO qui est = 15 ° ( côtés perpendiculaires à
SB et OS de l'angle BSO)
OB/B'B= cos 15°...

Pseuda
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Pseuda » 24 Fév 2016, 19:46

Matyo a écrit:Le 1) est-il juste ?

Donc pour le 2) dans OBS : je peux utiliser la tangente : tan(15°) = OB/15 ou OB = tan(15°)*15. Jusque là je pense que ça va.

Dans OO'B ça se complique : le rapport qui fait intervenir à la fois OB et O'B est le sinus : sin(O) = O'B/OB. Faut-il que je transforme O'B en sin(15)*15 ? Quand dois-je utiliser les formules, car il n'est pas question de cosinus ici ? Dois-je le trouver ?

Merci, je ne comprends pas la démarche à suivre dans cette deuxième partie d'exercice..


Le 1) est juste : O'B=15 * sin 15°

Le 2) le début est juste aussi : pour exprimer OB dans le triangle OBS avec les données que l'on connaît (et surtout pour pouvoir retrouver la même expression de OB à l'aide du triangle OBO'), on ne peut utiliser que le rapport tan : tan S = tan 15° = OB / BS = OB / 15, donc OB = 15 * tan 15°

Après ça se complique, comme tu dis : pour pouvoir utiliser l'indication (troisième formule du cours), dans le triangle O'OB, tu ne peux utiliser que l'angle O (complémentaire de l'angle S) et le sin (pour pouvoir utiliser la question 1)) : sin O = O'B/OB, donc OB = O'B / sin O
Troisième formule du cours : sin O = cos S (car ils sont complémentaires, tu vois pourquoi ?) = cos 15°
Donc OB = O'B / cos 15° = ................... (en utilisant la question 1) = ....................... (en utilisant tan = sin / cos)

Matyo
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Matyo » 24 Fév 2016, 23:31

Merci beaucoup ! J'ai réussi le 2 et cela donne : " Pour exprimer OB en travaillant dans le triangle OBS, je peux utiliser la tangente de l'angle S : tan(15) = OB/15. Je fais un produit en croix : OB = tan(15)*15.

Pour retrouver cette expression de OB dans le triangle OO'B, je commence par utiliser le sinus de l'angle O : sin(O) = O'B/OB. Et avec un produit en croix : OB = O'B/sin(O).

J'utilise ensuite la formule suivante : sin(A) = cos(B) lorsque A+B = 90°. Comme les angles O et S sont complémentaires (dans un triangle rectangle, la somme des angles est égale à 180°, et comme l'angle O' est un angle droit, et donc mesure 90°, alors la somme des angles S et O est forcément égale à 90°), je l'utilise : sin(O) = cos(S) = cos 15°.

Donc OB = O'B/cos 15°. Je sais également que O'B = sin(15)*15, je le modifie donc dans l'égalité : OB = 15*sin(15)/cos(15). En utilisant la formule suivante : tan = sin/cos, je peux modifier l'égalité : 15*tan(15).

J'ai retrouvé l'expression de OB en travaillant dans le triangle OBS puis O'OB."

J'ai aussi trouvée pour le 4) et le 6) :

4) Pour pouvoir utiliser une formule trigonométrique et trouver la distance OO' en travaillant dans le triangle OO'B, il faut d'abord que je trouve un angle aigu : je peut trouver l'angle O car, dans un triangle rectangle, la somme des angles est égale à 180°. Il suffit donc de travailler dans le triangle OBS, et donc, logiquement : l'angle O = l'angle B-l'angle S = 90-15 = 75°.

Je peux ensuite utiliser le sinus de l'angle O, comme je connais la distance O'B : sin(75) = OO'/15*sin(15). Et avec un produit en croix : OO' = 15*tan(15)*sin(75).

J'ai réussi à exprimer OO'.

6) Comme je sais la valeur de la distance du rayon de la boule (OB), je peux calculer le volume de la sphère :
- En valeur exacte : 4/3*π*(15*tan(15)).
- En valeur approchée : 16,8.

Il me manque seulement le 3) et le 5), et après j'arrête de vous embêter, promis !
Pour le 3), je vois bien comment trouver les angles, mais qu'est ce que l'on peut en déduire ?
Pour le 5), alors là... J'ai bien le sinus et la tangente mais développer tout ça me parait tout bonnement impossible..

MABYA
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par MABYA » 25 Fév 2016, 02:54

Pour le 3), je vois bien comment trouver les angles
Et alors comment sont ces angles ?
Connais tu les triangles semblables ?

Pseuda
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Re: Pythagore et Trigonométrie - 2 Exercices

par Pseuda » 25 Fév 2016, 14:16

Bonjour Matyo,

Tu ne m'embêtes pas, au contraire, cela me fait plaisir d'aider un bon élève comme toi.

Pour les angles complémentaires O et S de la question 2), c'est dans le triangle rectangle OBS qu'il faut les considérer (et non pas dans le triangle OO'B).

Pour la question 3), on peut en déduire que les triangles OBS et OO'B sont semblables (car ils ont les mêmes angles), mais cette notion n'est pas au programme de la 3ème, tu peux dire qu'"ils ont la même forme", tu peux dire aussi que OBO' est une réduction de OBS, avec quel coefficient de réduction ?

Pour la question 4), il y a une erreur dans ton calcul ; tu peux utiliser aussi l'angle B pour avoir directement la formule avec sin 15° (au lieu de sin 75°).

Pour la question 5), montre ton calcul (ou début de calcul).

Ok pour la question 6).

 

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