calcul du volume d'un bol

tiboO

bonjour, j'ai un exo pour jeudi, je bloque sur la question 1 b

je ne comprend pas on nous demande de démontrer que pi (i+1))/n² <non strict Vi <non strict (pi*i )/n²
le volume d'un cylindre : pi*r²*h
ici on a x=racine de y et y = h

donc pour moi pour calculer le volume du cylindre inférieur il faut faire pi*(racine de h)²*h
ça donne donc pi* (racine de ((i-1)/n))² * ((i-1)/n))
soit pi * (i-1)²/n² or on nous demande pi * (i-1)/n²

et le problème se pose aussi pour le cylindre supérieur....

je remercie d'avance les personnes qui pourraient m'éclairer sur cette question

voici l'énoncé complet

La figure represente un bol comme tous les autres ayant la forme d'un paraboloïde de révolution. Ce solide est obtenu par rotation de l'arc de parabole d'équation y=x2 pour
0<non strict x <non strict 1 autour de l'axe des ordonées.

On se propose de calculer le volume V de ce solide.
Soit un entier N>non strict 1 ; on partage ce solide en n tranche horizontale (on coupe le bol en plusieur tranches) T1, T2, T3.... Tn de hauteur 1/n

1) Soit i un entier compris entre 1 et n. On designe par vi le volume de la tranche Ti, située entre la hauteur (i-1)/n et i/n

a) vérifier que le rayon R du cercle situé à hauteur i/n est tel que R2 = i/n

b) En encadrant Ti entre deux cylindres, pour tout entier i compris entre 1 et n, démontrer que (pi (i+1))/n² <non strict Vi <non strict (pi*i )/n²

En déduire que (pi (1+2+...+(n-1))/n2 <non strict V < non strict (pi (1+2+...+n)/n2

2) Pour tout entier n> non strict 1, on pose
an = (pi ( 1+2+...+ n))/2

a) Démontrer que, pour tout entier n>non strict 1
V <non strict an <non strict V+ pi/n

en deduire que la suite (an) converge vers un reel V.

b)(derniere question) Demontrer que pour tout entier n>non strict 1
an = ((n+1) pi)/2n => et non pas n2

en deduire la valeur de V

tiboO

je me sens un peu seul .......

phryte

Slt.
Tu traces ta parabole selon xoy
Tu traces les tranches d'ordonnées 1/n , 2/n , 3/n...
Donc pour i =1 : R^2=1/n
i=2 : R^2=2/n
Pour i=i : R^2=i/n

i = piR^2

tu calcules le volume du cylindre de rayon i+1 = (pi.(i+1)/n)x(1/n)=pi.(i+1)/n^2
tu calcules le volume du cylindre de rayon i = pi.i/n^2
et
pi.(i+1)/n^2 > vi > pi.i/n^2
Je pense qu'il y a une erreur dans les signes d'inégalité dans ton texte !
Plutôt :

pi.(i-1)/n^2 < vi < pi.i/n^2
et en faisant la somme de toutes le tranches, pour le volume V du bol :
(pi (1+2+...+(n-1))/n^2 <non strict V < non strict (pi (1+2+...+n)/n^2

tiboO

i = piR^2

tu calcules le volume du cylindre de rayon i+1 = (pi.(i+1)/n)x(1/n)=pi.(i+1)/n^2
tu calcules le volume du cylindre de rayon i = pi.i/n^2
et
pi.(i+1)/n^2 > vi > pi.i/n^2


???????????

comment peut-on dire que i=pi R^2 ????????

et ensuite je dois me tromper dans la formule ou alors je suis à côté de la plaque

pour calculer le volume du cylindre à la hauteur (i-1)/n

V = pi *(i-1)/n*(i-1)/n et là y a un problème .....

car pour pour i =1 : R^2=1/n
i=2 : R^2=2/n
Pour i=i : R^2=i/n

ainsi pour i-1 : R^2= (i-1)/n

phryte

i = piR^2 (je ne sais pas pourquoi cela ?)


La hauteur du cylindre est 1/n !