Algèbre linéaire(modèle de rotation 3D)

[lavidad]

Bonjour,

Voila, j'ai un problème que je n'arrive pas à savoir par où commencer.

Il s'agit d'un aimant placé sur un objet en mouvement (rotation...), cette objet est placé dans une boite, ensuite il y a des capteurs (25 au total) qui sont fixé sur cette boite et qui enregistre la densité de flux magnétique.
A partir des données enregistrées et de la position de chaque capteur, on calcul la position de l'aimant en 3D

J'ai plusieurs données : (toutes les données sont connues)

1. Données de capteurs de flux magnétique.
2. Données des coordonnées des capteurs sur le dôme (x,y,z).
3. Et un vecteur final (position de l'aimant en 3D) : résultat des calculs à partir des données précédentes.

J'ai la formule suivante:



Avec : position de l'aimant au temps i en coordonnées cartésiennes 3D (xi, yi, zi);

j: nombre de capteur j, 1-25;

: densité de flux magnétique (Tesla) de la j capteur au temps i;

: coordonnées cartésiennes pour le capteur j sur le dôme.

Le but est de faire l'opération inverse c'est à dire retrouver les 25 données enregistrées par les capteurs.

Je dois donc résoudre une équation à 25 inconnues.

J'ai essayé de mettre sous forme matricielle le problème pour utiliser la méthode de Gauss et là je bloque je n'arrive pas à mettre sous forme matricielle, alors je me dis que ce n'est peut-être pas la bonne façon de prendre le problème.

Si quelqu'un a une idée, une première étape à me conseiller car comme je l'ai dit tout au début je ne sais par où commencer.

Merci d'avance.

[Robic]

Bonsoir ! Il y a quelque chose de bizarre dans la formule. Le vecteur est un vecteur tout ce qu'il y a de plus normal à 3 coordonnées. Donc le membre de droite doit être un produit d'une matrice 3 lignes, 25 colonnes avec un vecteur à 25 coordonnées, les , qui doivent être des nombres, or tu sembles les avoir définis comme des triplets de coordonnées.

Pourrais-tu préciser si les et les sont bien des nombres ? Peut-être qu'il y a une confusion quelque part qui pourrait expliquer le blocage...

[lavidad]

Salut,

Merci d'avoir répondu aussi rapidement.

Les sont des nombres qui ont été enregistrés il y en a 25 au total. (un pour chaque capteur mesure de la densité de flux magnétique de l'aimant).

Les sont les coordonnées(x,y,z) des capteurs sur le dôme.

Je pense que j'ai compris quelque chose comme tu la dis c'est la multiplication d'une matrice 3 lignes, 25 colonnes (les ) par un vecteur colonne de 25 lignes ()

Je dois retrouver les 25 inconnues ( ).

[Robic]

Pour moi ce n'est toujours pas clair.

Les P_j sont les coordonnées(x,y,z) des capteurs sur le dôme.

Précise ! Tu veux dire que chaque est un triplet de coordonnées, donc pas un seul nombre mais trois, ou bien que chaque est une coordonnée. (Les deux réponses sont impossibles : dans le premier cas ça ne colle pas avec la formule, dans le deuxième cas il n'y aurait que trois au lieu de 25.)

Je dois retrouver les 25 inconnues ( a_{ij} ).

Tu veux dire 25x3 = 75 inconnues, non ?

Peut-être qu'il serait utile d'avoir des exemples (même bidons) de ces valeurs ?

En tout cas je soupçonne que clarifier la formule et les notations pourrait aider à avancer.

[lavidad]

Je vais tenter d'expliquer au mieux le problème.

Pour cette formule:



: position de l'aimant au temps i en coordonnées cartésiennes 3D (xi, yi, zi).

j: nombre capteur j, 1-25;

un triplet de coordonnées. (coordonnées cartésiennes pour le capteur j sur le dôme.)

Exemple:
Capteur 1 : x=0; y=0.1; z=0;
Capteur 2 : x=-0.07071068; y=0.07071068; z=0;
...
Capteur 25 : x=0; y=0; z=0.1;


Les : densité de flux magnétique (Tesla) de la j capteur au temps i.

Exemple:
temps | C1 | C2 | ... | C25
10h36 | 4 | -3 | ... | 7
10h37 | 4 | -3 | ... | 7
10h38 | 5 | -1 | ... | 7
etc

[Robic]

OK, je crois que j'ai compris...

Tu mets une flèche sur donc c'est un vecteur. Or à droite il n'y a plus de vecteur ! Ce sont les les vecteurs ? Je vais supposer que oui puisque tu dis que ce sont des triplets. Je vais noter et .

La formule est donc :



Autrement dit :





--> Pour chaque valeur de i, il y a 25 inconnues (les ) mais seulement 3 équations. Manifestement c'est beaucoup trop d'inconnues pour qu'on puisse résoudre ça.

Mais est-ce que j'ai bien compris ?

[lavidad]

Oui oui c'est bien

Je dois faire le calcul pour retrouver les .

Voila ce que je comprends

Si je mets la formule sous forme matricielle cela donne :
Ax = b
Avec A la matrice 3 lignes 25 colonnes ( )
x : les
b :

Est ce que je suis sur le bon chemin?

[Robic]

Et tu es d'accord que les 25 coefficient ne sont pas constants ? (Ce n'est en effet pas le cas dans ton exemple.) Du coup s'il y a par exemple 10 mesures (i=10), il y aura 250 inconnues ?

Dans le premier message tu disais « Je dois donc résoudre une équation à 25 inconnues. » ce qui suggérait que le nombre d'inconnues reste 25. Si c'était vrai, on pourrait résoudre le problème avec i >= 25.

[lavidad]

Oh désolé j'ai mis trop de temps à répondre j'ai pas vu tes messages.

[Robic]

Effectivement tu peux écrire ça sous la forme d'un système de 3 lignes à 25 inconnues. Mais, bien sûr, on ne peut pas le résoudre.

De façon générale, et si j'ai bien compris, si tu fais N mesures (i variant de 1 à N), tu auras 3N équations pour 25N inconnues, c'est impossible de le résoudre. Par exemple avec 10 mesures, tu as peut-être 30 équations, mais 250 inconnues.

(Sauf si les sont constants dans le temps.)

Bref, j'ai l'impression que pour résoudre ce problème, il ne faut pas encore faire des maths mais, pour l'instant, faire de la physique afin de trouver un procédé qui permettra d'avoir un problème résolvable.

[lavidad]

Oui c'est une combinaison de vecteurs

si tu fais N mesures (i variant de 1 à N), tu auras 3N équations pour 25N inconnues , tu auras 3N équations pour 25N inconnues, c'est impossible de le résoudre.

Les valeurs de varient à chaque mesure oui.

Est-ce qu'il sera possible de résoudre juste pour un temps donné? par exemple juste pour la première mesure.

Si c'est impossible de résoudre cela peut-être que ce n'est pas les que je dois chercher mais les .

Car ce qui est constant ce sont les .

[Robic]

Pour un temps donné il y a 25 inconnues et seulement 3 équations, donc ce n'est pas résolvable (il faut au moins 25 équations).

[lavidad]

Ah! d'accord.
Eh bien je vais revoir le problème.
Je reposterai quand j'aurai compris ce que je dois faire.

Merci beaucoup.

[zygomatique]

salut

il me sembe que tout revient donc à résoudre l'équation vectorielle

mais bon ta formulation semble imprécise comme l'a remarqué Robic

à mon avis tu as plutôt 25 équations vectorielles ....

enfin les a_ij sont des nombres et les P_i /P_j sont des vecteurs de R^3


le problème n'est pas clair ....

[lavidad]

Il y a 25 colonnes au total et je mets que les 5 premières.

Données des capteurs :(Données initiales)



Position des capteurs sur le dôme:



x : Résultat de la multiplication des données des capteurs par leur position(position de x)



y : Résultat de la multiplication des données des capteurs par leur position(position de y)



z : Résultat de la multiplication des données des capteurs par leur position(position de z)



A la fin on obtient un vecteur : résultat de la somme de x, y, z.(Données finales)



A partir des (Données finales) je dois pouvoir retrouver les (Données initiales).

[Robic]

A partir des (Données finales) je dois pouvoir retrouver les (Données initiales).

C'est impossible. (Ça pourrait devenir possible avec des hypothèses supplémentaires, ou des mesures supplémentaires, ou je ne sais quoi, mais tel que présenté c'est impossible.)

En gros, ton problème est du même type que le suivant :
- On considère 5 nombres initiaux, par exemple 2, 8, 10, 12, 25.
- On fait la somme, ce qui donne le nombre final, par exemple 57.
- But : retrouver les 5 nombres initiaux à partir du résultat final.

C'est le même type de problème à part qu'ici je parle de nombres, alors que tu considères des vecteurs. Mais le vecteur final s'obtient comme une somme, donc c'est le même principe. Or bien sûr, il est impossible de retrouver les 5 nombres initiaux à partir de 57.

[BiancoAngelo]

C'est impossible. (Ça pourrait devenir possible avec des hypothèses supplémentaires, ou des mesures supplémentaires, ou je ne sais quoi, mais tel que présenté c'est impossible.)

En gros, ton problème est du même type que le suivant :
- On considère 5 nombres initiaux, par exemple 2, 8, 10, 12, 25.
- On fait la somme, ce qui donne le nombre final, par exemple 57.
- But : retrouver les 5 nombres initiaux à partir du résultat final.

C'est le même type de problème à part qu'ici je parle de nombres, alors que tu considères des vecteurs. Mais le vecteur final s'obtient comme une somme, donc c'est le même principe. Or bien sûr, il est impossible de retrouver les 5 nombres initiaux à partir de 57.

Ouaip', c'est du même genre que mon post :

http://www.maths-forum.com/3-equations-a-n-inconnues-162939.php

[lavidad]

Merci pour vos réponses et surtout pour tes explications Robic, j'ai posté mon problème car c'était assez urgent que je trouve une solution.

Voila, une solution m'a été donnée : l'algorithme génétique.
J'ai donc été voir comment fonctionne cet algorithme et là je me suis dit que si on m'avais pas parlé de cet algorithme, et que je le découvre moi même, j'aurais jamais pensé qu'il pourrait être appliqué à mon problème.

J'ai maintenant quelques pages à écrire concernant le sujet et un programme utilisant celui-ci pour appliquer à ce problème.

Merci encore.

[Cliffe]

Je pense qu'il manque un critère du genre "minimiser kkch".

[lavidad]

Oui je pense que je dois minimiser.

En faite, j'ai vu qu'il faut une fonction qu'on doit soit minimiser soit maximiser.

Quel pourrait-être cette fonction? Je me réfère donc à la formule de départ?