Fonctions Dérivées, tangente, parabole ...

[Angelusvince]

Bonjour, j'ai un ptit problème avec mon DM de math ...
J'ai fait tous les exos sauf l'exercice 1.
Je n'ai rien pas le début d'une réponse pas la moindre idées donc je poste l'énoncer :
Sur la courbe P d'équation y = x² - 1 (le repère est orthonormé d'origine O), on note M un point d'abcisse a positive.
1 : P et Q sont les points où la tangente en M coupe les axes de coordonnées.
Montrez que le triangle OPQ a pour aire A(a) = (a+1)²/(4a) et déterminez le point M pour lequel cette aire est minimale.
2 : On note d(x) le carré de la distance OM.
a) Montrez : d(x) = x^4- x² +1
b) Quel est le point de P le plus proche de O ?

[Noemi]

Recherche l'équation de la tangente au point M.
y = f'(a)(x-a) + f(a)

[Angelusvince]

y = f'(a)(x-a)+f(a)
y = 2a(x-a)+a²-1
y = 2ax - 2a²+a²-1
y = 2ax - (a²+1)
enfait je l'avais déjà mais une fois trouvé je ne savais pas comment l'utiliser ...

[Noemi]

Calcule les coordonnées des points P et Q.
Puis l'aire du triangle OPQ.

[Angelusvince]

Comment je fais ? j'ai pas d'abcisse pour le point a ...

[Noemi]

P et Q sont les points ou la tangente coupe les axes, soit x = 0, ou y = 0.

[Angelusvince]

Donc je doit trouvé le résultat de l'equation quand x vaut 0 et trouvé la valeur de x quand l'équation = 0 ?

2ax - (a² + 1) = 0
2ax = a² + 1
ax = (a²+1)/2

x = (a+1)/2


Pour x vaut 0 :
2ax - (a²+1) = - a² -1

Ce serai celà ?

[Noemi]

y = 2ax - (a²+1)
Si y = 0
2ax - (a² + 1) = 0
2ax = a² + 1
ax = (a²+1)/2

x = (a²+1)/2a


Pour x vaut 0 :
y = 2a*0 - (a²+1) = - a² -1

[Angelusvince]

P(0;-a²-1);
Q((a²+1)/2a;0);

OP = V( (xP - xO)² + (yP - yO)² )
OP = V( (0 - 0)² + (-a²-1 - 0)²)
OP = a²-1

OQ =V( (xQ - xO)² + (yQ - yO)² )
OQ =V( (a²+1)/2a - 0)² + (0 - 0)² )
OQ = (a²+1)/2a

Aire d'un triangle : ( l * h ) / 2
La hauteur d'un triangle rectangle est la longueur du segment perpendiculaire a sa base.

A(a) = (a²-1 * (a²+1) / 2a) /2
A(a) = 1/2(a²-1) * 1/2 ((a²+1) / 2a)
A(a) = (a²-1)/2 * (a²+1)/4a
A(a) = (a^4 + a² - a² -1)/8a

Je me suis trompé j'en suis sur ... mais ou ?

[Noemi]

L'erreur est pour le calcul de OP
OP = V( (0 - 0)² + (-a²-1 - 0)²)
OP = a²+1

[Angelusvince]

le moins dans le calcul ce transforme en + ?
je ne savais pas (lointain souvenir ^^)

A(a) = (a²+1 * (a²+1) / 2a) /2
A(a) = 1/2(a²+1) * 1/2 ((a²+1) / 2a)
A(a) = (a²+1)/2 * (a²+1)/4a
A(a) = (a^4+2a²+1)/8a
A(a) = (a²+1)²/8a ?

[Noemi]

Le moins dans le calcul ce transforme en + ?
C'est (-a²-1)² = (a²+1)², un carré est toujours positif ou nul.


A(a) = (a²+1 )* (a²+1) / 2a) /2
A(a) = (a²+1)² / 4a

[Angelusvince]

Oui mais ça ne correspond pas a ce que l'on doit trouvé ?
je ne comprend pas si tu veux me faire réfléchir j'ai pas la moindre idée ...

PS : Si je marque "Résultat non cohérant avec l'énoncé" ça passe sur la copie ou pas ? ^^

Merci beaucoup pour l'aide que tu m'apporte Noemi

[Noemi]

A mon avis l'énoncé comporte une erreur.
Fais la suite.

[Angelusvince]

Bon j'ai essayé de continuer cepandant ce trouve des résultats (encore) non cohérants avec l'énoncé ... :mur:
Voilà mon cacul au cas ou mon raisonnement ne serait pas le bon :
M(xQ;yP) <=> M( (a²+1)/2a ; -a²-1 )

OM = V( (xM - xO)² + (yM - yO)²)
= (a+1)/2a + a² + 1
= (a+1)/2a + (2a^3 + 2a)/2a
= (2a^3+a²+2a+1)/2a
= a²+a+1

Mais je me suis trompé n'est-ce pas ? je suis pas en forme en math en ce moment :triste:

[Noemi]

M(x;x^2-1)
Soit OM^2 = x^2 + (x^2-1)^2
Développe le terme de droite et simplifie le.

[Angelusvince]

A mais oui, pff je suis idiot mais alors :dodo:
J'ai pas pris les bonne coordonnée :marteau:

[Angelusvince]

OM² = x² + (x²-1)²
OM² = x² + x^4-2x²+1
OM² = x^4 - x² + 1

[Noemi]

C'est juste reste à écrire la forme canonique pour faire la question b).

[Angelusvince]

boujour, j'ai fait ce que tu m'as dit, et ce c'est ce que j'allais faire, mais est-ce normal de trouver un discriminant négatif ?
Je trouve -3 on je pense que c'est juste car la fonction x^4-x²+1 ne passe pas par zero mais lorsque je le fait avec ma calculette, je trouve pas les même minimum :hum:
Voici la forme canonique que j'ai trouvé :

OM² = (x² + (-1/2))²-(-3/4)

-3/4 correspond mais pas 1/2 et pourtant sur la courbe on voit nettement les deux points qui forme un seul et même minimum ...