DM TERMINALE S : probabilités et suites

[Elise&]

Bonjour, actuellement élève en terminale S j'ai un devoir portant sur les suites et les probabilités à rendre pour la rentrée.

En voici le sujet:
" Chaque jour un allumeur de réverbère se demande s'il va allumer ou éteindre son réverbère. S'il est allumé, il l'éteint dans 30% des cas. S'il est éteint, il l'allume une fois sur deux. Le premier jour le réverbère est allumé. On note Pn la probabilité que le réverbère soit allumé le nième jour.

1) Donner P1, P2 et P3
2) Justifier que Pn+1=0.2Pn+0.5 (on pourra s'aider d'un arbre pondéré)
3) Soit la suite (Un) telle que Un=Pn-0.625
a) Montrer que (Un)est géométrique
b) Trouver Un puis Pn en fonction de n
c) Etudier les variations de Pn
4) Si l'allumeur de réverbère continue éternellement son travail, le réverbère finira t'il par être plus souvent allumé ou éteint? (justifier le résultat)
5) Quel est le premier jour où la probabilité que le réverbère soit allumé sera inférieur à63%? "

Je parviens à répondre à la 1) : P1=1, P2=0,7 et P3=0,64
Or lorsque je réalise mon arbre, les résultats ne correspondent pas à mes résultats précédents et à l'énoncé et je n'arrive donc pas à me justifier

Merci de votre aide

[chombier]

Bonjour, actuellement élève en terminale S j'ai un devoir portant sur les suites et les probabilités à rendre pour la rentrée.

En voici le sujet:
" Chaque jour un allumeur de réverbère se demande s'il va allumer ou éteindre son réverbère. S'il est allumé, il l'éteint dans 30% des cas. S'il est éteint, il l'allume une fois sur deux. Le premier jour le réverbère est allumé. On note Pn la probabilité que le réverbère soit allumé le nième jour.

1) Donner P1, P2 et P3
2) Justifier que Pn+1=0.2Pn+0.5 (on pourra s'aider d'un arbre pondéré)
3) Soit la suite (Un) telle que Un=Pn-0.625
a) Montrer que (Un)est géométrique
b) Trouver Un puis Pn en fonction de n
c) Etudier les variations de Pn
4) Si l'allumeur de réverbère continue éternellement son travail, le réverbère finira t'il par être plus souvent allumé ou éteint? (justifier le résultat)
5) Quel est le premier jour où la probabilité que le réverbère soit allumé sera inférieur à63%? "

Je parviens à répondre à la 1) : P1=1, P2=0,7 et P3=0,64
Or lorsque je réalise mon arbre, les résultats ne correspondent pas à mes résultats précédents et à l'énoncé et je n'arrive donc pas à me justifier

Merci de votre aide

Tu as bon à la question 1.

Je te propose d’appeler A_n l'événement "le réverbère est allumé le jour n" et E_n l'événement "le réverbère est éteint le jour n"

Ainsi, P_n = p(A_n). Et tu peux nommer facilement les noeuds de ton arbre ponderé.

A quoi ressemble-t-il, d'ailleurs, cet arbre ?

Code: Tout sélectionner

    0,3
  /---- E2
A1
  \---- A2
    0,7


On trouve bien p(A1) = P1 = 1
p(A2) = P2 = 0,7

Cela t'aide pour la suite ? Tu peux avancer un peu l'arbre ?

[Elise&]

Tu as bon à la question 1.

Je te propose d’appeler A_n l'événement "le réverbère est allumé le jour n" et E_n l'événement "le réverbère est éteint le jour n"

Ainsi, P_n = p(A_n). Et tu peux nommer facilement les noeuds de ton arbre ponderé.

A quoi ressemble-t-il, d'ailleurs, cet arbre ?

Code: Tout sélectionner

    0,3
  /---- E2
A1
  \---- A2
    0,7


On trouve bien p(A1) = P1 = 1
p(A2) = P2 = 0,7

Cela t'aide pour la suite ? Tu peux avancer un peu l'arbre ?

J'ai effectivement réussi à faire l'arbre mais lorsque j'essaie de calculer p3, le résultat obtenu n'est pas le même

[chombier]

Fais voir ton arbre et comment tu calcules p3

[Elise&]

Fais voir ton arbre et comment tu calcules p3

Désolé du retard, je n'avais pas vu votre réponse

Voici mon arbre :


Pn = probabilité que le reverbere soit allumé
P= probabilité qu'il soit éteint

[img]Arbre%20pondéré[/img]

[busard_des_roseaux]

bonjour,
si tu souhaites insérer une image, il faut l'uploader sur un hébergeur d'images et mettre un lien sur le site vers l'hébergeur

[Elise&]

Désolé du retard, je n'avais pas vu votre réponse

Voici mon arbre :


Pn = probabilité que le reverbere soit allumé
P= probabilité qu'il soit éteint

[img]Arbre%20pondéré[/img]

Je n'arrive pas à joindre mon image

[Elise&]

bonjour,
si tu souhaites insérer une image, il faut l'uploader sur un hébergeur d'images et mettre un lien sur le site vers l'hébergeur

Bonjour, je ne sais pas du tout faire ceci

[busard_des_roseaux]

re,
on a la formule de probas


qui définit une probabilité conditionnelle

le produit , à droite de l'égalité est le produit des probas (d'une branche depuis la racine
jusqu'à la feuille)

la proba à gauche est la proba de la branche de l'arbre A-B

[busard_des_roseaux]

regarde http://www.hostingpics.net/

tu charges une image de ton micro vers l'hébergeur

[Elise&]

re,
on a la formule de probas


qui définit une probabilité conditionnelle

le produit , à droite de l'égalité est le produit des probas (d'une branche depuis la racine
jusqu'à la feuille)

la proba à gauche est la proba de la branche de l'arbre A-B

Lorsque je calcule p3 à partir de mon arbre je trouve : 1*0,3*0,5=0,15 or p3= 0,64 d'après mes calculs

[busard_des_roseaux]

Lorsque je calcule p3 à partir de mon arbre je trouve : 1*0,3*0,5=0,15 or p3= 0,64 d'après mes calculs

la formule que tu as utilisée concerne une branche de l'arbre (depuis la racine jusqu'à la feuille)

l'évènement, dont veut calculer la proba, comporte deux branches.

il manque la pondération 0,49 , relative à l'autre branche
(ça s'appelle "formule des probabilités totales")

[Elise&]

la formule que tu as utilisée concerne une branche de l'arbre (depuis la racine jusqu'à la feuille)

l'évènement, dont veut calculer la proba, comporte deux branches.

il manque la pondération 0,49 , relative à l'autre branche
(ça s'appelle "formule des probabilités totales")

d'où sors le 0,49?

[busard_des_roseaux]

dans un arbre, on distingue:

- la racine
- les branches (les arêtes)
- les "feuiilles", aux extrémités

quand on calcule p2, on calcule laa probaa d'un évènement qui est décrit
par deux chemins A-A-A et A-E-A

on a oublié la pondération d'une des branches: A-A-A

[Elise&]

dans un arbre, on distingue:

- la racine
- les branches (les arêtes)
- les "feuiilles", aux extrémités

quand on calcule p2, on calcule laa probaa d'un évènement qui est décrit
par deux chemins A-A-A et A-E-A

on a oublié la pondération d'une des branches

Je trouve également A-E-A et A-E-E

[busard_des_roseaux]

Je trouve également A-E-A et A-E-E

non, p2 est la proba de l'évènement

"après le 2ème passage, le réverbère est allumé", A-E-E ne convient pas.